Построение графика квадратичной функции

«Построение графика квадратичной функции» (9 класс)

Урок 2

Цели урока:

• Образовательные: научиться построению графика квадратичной функции и использованию графика для получения её свойств.
• Развивающие: развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, внимание, навыки самостоятельной работы с источником информации и самоконтроля, поддерживать интерес к математике.
• Воспитательные: воспитывать последовательность, ответственность, самостоятельность, настойчивость, дисциплинированность.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c , где х - независимая переменная, a, b и с -некоторые числа (причём а≠0).

Например: у = 5х²+6х+3,

у = -7х²+8х-2,

у = 0,8х²+5,

у = ¾х²-8х,

у = -12х²

- квадратичные функции

0) или вниз (если ау= 2 х ²+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а0 ). Например: у= -7 х²-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а у 0 х у 0 х " width="640"

Графиком квадратичной функции является парабола , ветви которой направлены вверх (если а0) или вниз (если а

• у= 2 х ²+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=2, а0 ).

Например:

• у= -7 х²-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а

у

0

х

у

0

х

0) " width="640"

Чтобы построить график функции надо:

1. Описать функцию:

название функции,

что является графиком функции,

куда направлены ветви параболы.

Пример: у = х ²-2х-3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а=1, а0)

Чтобы построить график функции надо:

Пример: у = х ²-2х-3 (а = 1; b = -2; с = -3) Найдём координаты вершины параболы

n = 1²-2·1-3 = -4

А(1;-4) – вершина параболы.

х=1 – ось симметрии параболы.

2. Найти координаты вершины параболы А( m;n) по формулам:

;

или n = у(m) т.е. подставить найденное значение абсциссы m в формулу, которой задана функция и вычислить значение.

Прямая x=m является ось ю симметрии параболы.

Чтобы построить график функции надо:

3. Заполнить таблицу значений функции:

Прямая x=m является осью симметрии параболы, т.е. точки графика симметричны относительно этой прямой.

В таблице расположить вершину в середине таблицы и взять соседние симметричные значения х. Например, следующим образом:

*- посчитать значение функции в выбранных значениях х.

Пример: у = х ²-2х-3

А(1;- 4) – вершина параболы

х=1 – ось симметрии параболы.

Составим таблицу значений функции:

Х

у

- 1

0

0

- 3

1

- 4

2

- 3

3

0

Х

у

m-2

*

m-1

*

m

m+1

n

*

m+2

*

Чтобы построить график функции надо:

4. Построить график функции: - отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; - соединить их плавной линией.

х

у

-1

0

0

-3

1

-4

2

-3

3

0

У

4

-4

3

-3

2

-2

1

-1

у = х ²-2х-3

0

-2

1

-1

-3

2

3

-4

4

-5

5

6

х

Попробуйте ответить на контрольные вопросы:

• Сформулируйте определение квадратичной функции.
• Что представляет собой график квадратичной функции?
• Куда могут быть направлены ветви параболы и от чего это зависит?
• В какой последовательности нужно строить график квадратичной функции?

Стоит немного отдохнуть от компьютера.

Попробуйте построить в тетради график функции

у = -2х²+8х-3

Постройте график функции у = -2х ²+8х-3 План построения графика квадратичной функции:

1. Описать функцию:

• название функции; что является графиком функции; куда направлены ветви параболы
• название функции;
• что является графиком функции;
• куда направлены ветви параболы

2. Найти координаты вершины параболы А( m;n)

по формулам:

или n = у(m)

3. Заполнить таблицу значений функции.

4. Построить график функции:

• отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице; соединить их плавной линией.
• отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице;
• соединить их плавной линией.

Проверьте себя. Ваше задание должно быть выполнено следующим образом:

у = -2х ²+8х-3 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-2, а

Найдём координаты вершины параболы

n = -2·2²+8·2-3 =5

А ( 2; 5 ) – вершина параболы.

х=5 ось симметрии параболы.

Составим таблицу значений функции.

у = -2х ²+8х-3

у

7

6

5

4

-3

3

-2

2

-1

1

0

-1

1

-2

-3

2

3

-4

4

5

6

х

Х

у

0

-3

1

3

2

3

5

3

4

-3

Если у вас получилось тоже самое – вы молодец и мы вас поздравляем!!! Вы можете перейти к следующей странице .

Если вы допустили ошибку – не огорчайтесь. У вас всё ещё впереди! Вы можете заглянуть в свой учебник (п.7)

0 на промежутке (0,5;3,5) y Функция возрастает на промежутке (-∞;2] функция убывает на промежутке [2;+∞) Наибольшее значение функции равно 5 у 7 6 5 4 3 у = -2х ²+8х-3 2 -1 1 0 -2 1 -1 2 -3 3 -4 4 х " width="640"

Рассмотрим свойства этой квадратичной функции. (листаем свойства по щелчку мыши)

• Область определения функции (-∞;+∞)

Область значений функции (-∞;5]

• Нули функции х =0,5 и х =3,5
• у 0 на промежутке (0,5;3,5)

y

• Функция возрастает на промежутке (-∞;2]

функция убывает на промежутке [2;+∞)

• Наибольшее значение функции равно 5

у

7

6

5

4

3

у = -2х ²+8х-3

2

-1

1

0

-2

1

-1

2

-3

3

-4

4

х

Перед продолжением работы запишите домашнее задание,

№ 122, 124(а),

244(б,в)

Далее выполните тест.

• прочитайте задание;
• выполните его устно или, сделав записи в тетради;
• и выберите правильный ответ

Выполните тест

1 вопрос: Выберите квадратичную функцию а)

б)

в)

г)

Выполните тест

2 вопрос: Куда направлены ветви параболы ?

• Вверх
• Вниз

Выполните

3 вопрос: Укажите координаты вершины параболы

а) А(3;6)

б) А(-1;-17)

в) А(1;-5)

г) А(1;-1)

Выполните тест

у

У

У

0 6

х

-6 0

х

-6 0

х

4 вопрос:

На рисунке показаны графики квадратичных функций. Выберите график функции

у= - 4х²-16х+1, подведите к нему стрелку и нажмите левую кнопку мыши .

у

у

17

5

у

1

0 2,5

х

-2 х

2,5

6

0

х

Выполните тест

5 вопрос: Укажите формулу квадратичной функции, график которой изображён на рисунке.

• у = -x 2 +6x
• у = - 3х²+8х-11
• у = - 4х²-16х+1
• у = х²-6х
• у = х²+6х
• у = 1,2х²-6х+5

У

-6 0

х

Выполните следующую работу в тетрадях по вариантам. Постройте графики функций:

• I вариант

у = -х ²+6х-8

Укажите свойства функции.

• II вариант

у = х ²-6х-7

Укажите свойства функции.