Исследовательская работа "Построение признаков делимости чисел и применение их при решении задач ОГЭ и ЕГЭ"

8

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей №1 г. Морозовск «ПОСТРОЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОГЭ И ЕГЭ» Исследовательская работа Выполнила : Ученица 11 класса Кобцева Елена Руководитель учитель математики Т.С. Васецкая Морозовск 2019

Содержание

Введение………………………………………………………………………4

Основная часть………………………………………………………………9

1. Признаки делимости чисел:……………………………………...9

   1. Признаки делимости, изучаемые в школе………………………...9

1. Признаки делимости на 2……………………………………….9

2. Признаки делимости на 3……………………………………….9

3. Признаки делимости на 4……………………………………….9

4. Признаки делимости на 5……………………………………….9

5. Признаки делимости на 9………………………………………10

6. Признаки делимости на 10……………………………………..10

б. Признаки делимости, исследованные самостоятельно:…………10

1. Признаки делимости на 6……………………………………………10

2. Признаки делимости на 12…………………………………………..11

3. Признаки делимости на 14…………………………………………..11

4. Признаки делимости на 15…………………………………………..11

5. Признаки делимости на 25…………………………………………..11

6. Признаки делимости на 30…………………………………………..11

7. Признаки делимости на 36…………………………………………..12

8. Признаки делимости на 45…………………………………………..12

9. Признаки делимости на 90…………………………………………..12

в. Признаки делимости, полученные из разных источников……...12

1. Признаки делимости на 7……………………………………………12

2. Признаки делимости на 8……………………………………………13

3. Признаки делимости на 11…………………………………………..13

4. Признаки делимости на 13……………………………………...…...14

5. Признаки делимости на 17…………………………………………..14

6. Признаки делимости на 19………………………………………...14

7. Признаки делимости на 20…………………………………….…..15

8. Признаки делимости на 23…………………………………….…..15

9. Признаки делимости на 27…………………………………….…..16

10. Признаки делимости на 29…………………………………….…..16

11. Признаки делимости на 31…………………………………….…...16

12. Признаки делимости на 37………………………………………....16

13. Признаки делимости на 41…………………………………….…..17

14. Признаки делимости на 50…………………………………….…..17

15. Признаки делимости на 59…………………………………….…..18

16. Признаки делимости на 79…………………………………….…..18

17. Признаки делимости на 99………………………………………...18

18. Признаки делимости на 101……………………………………….18

1. Применение признаков делимости при решении задач

ОГЭ и ЕГЭ…………………………………………………….….19

1. Разные задачи на делимость…………………………………....21

2. Признаки делимости в различных

числовых фокусах:…..………………………………………..…..25

Заключение……………………….………………………………………….26

Литература ……………………….……………………………………….....28

Приложение………………………………………………………………….29

Введение

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

А.Н. Крылов

Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Признаки делимости можно классифицировать следующим образом:

Признаки делимости

Делимость по последним цифрам числа

Делимость по сумме цифр числа

Делимость

составных

чисел

Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решать задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.

Задачи исследования:

1. Проанализировать признаки делимости натуральных чисел школьного курса математики;

2. Самостоятельно исследовать делимость чисел;

3. Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости;

4. Объединить и обобщить признаки делимости, полученные из разных источников;

5. Рассмотреть решение задач с использованием признаков делимости;

Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, участвующих в олимпиадах по математике.

Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля».  Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами:

1. Если а и р- натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

Например 15и 11. 15и5.

2.Если М- общее кратное а и b, а т - их наименьшее общее кратное, то М делится на т.

Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

3. Рефлексивность: если а делится на b, то и b делится на а.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.

Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

Признаки делимости, изучаемые в школе

Признак делимости на 2

Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.

Например:

В числе 354098 последняя цифра 8 – она четная, значит, число делится на 2.

Признак делимости на 3

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Например:

423 (4+2+3=9), значит, число делится на 3.

Признак делимости на 4

Чтобы число делилось на 4 надо проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:

1836 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.

Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.

Например: 7500

Признак делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на 5 или на 0.

Например:

1245 делится на пять.

Признак делимости на 9

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,

чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Например:

598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4

Признак делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.

Например:

33312890 – делится на 10.

Признаки делимости, исследованные

самостоятельно

Признаки делимости на 6

I способ

Число должно быть чётным и сумма цифр числа должна делиться на 3

II способ

Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:

1. Число сотен умножить на 2,

2. Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.

Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:

138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.

Признак делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значится и на 12.

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Пример:

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Например:

1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:

Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Признак делимости на 36

Чтобы число делилось на 36, оно должно делиться на 4 и на 9, то есть сумма цифр должна делиться на 9 и две его последние цифры должны образовывать число, делящееся на 4.

Признак делимости на 45

Чтобы число делилось на 45, оно должно делиться на 5 и на 9, значит оно должно оканчиваться на 0 или 5 и сумма цифр должна делиться на 9.

Признак делимости на 90

Чтобы число делилось на 90, оно должно делиться на 10 и на 9, значит оно должно оканчиваться на 0 и сумма цифр должна делиться на 9.

Признаки делимости, полученные из разных источников

Признак делимости на 7

Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:

1. Число, стоящее до десятков умножить на два,

2. К результату прибавить оставшееся число.

3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр

делится на 8.

Например:

6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

Испытаем число 100397.

Нумерация идет слева направо.

1+0+9=10

0+3+7=10

10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235.

Разбиваем на группы

и складываем их:

1+52+35=88.

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например:

858 делится на 13, так как делится на 13.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

1 0 2 6 - 102+(6*2)=114

114- 11+(4*2)=19

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228…

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

2. Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

2. Признаки делимости на 23

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак делимости на 27

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак делимость на 29

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Признак делимости на 31

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

2. Признаки делимости на 37

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

2. Признаки делимости на 41

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Например:

6957200, 67906850.

Признак делимости на 59

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

2. Признак делимости на 79

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

2. Признак делимости на 99

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

2. Признак делимости на 101

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Применение признаков делимости при решении задач ОГЭ и ЕГЭ

1. Доказать что число кратно 10.

Решение:

Воспользуемся признаком делимости на 10. Для, того чтобы данное выражение делилось на 10 необходимо, чтобы последней цифрой в данном выражении было 0, т.е. сумма единиц всех слагаемых должна оканчиваться нулем. Найдем, какой цифрой оканчивается каждое слагаемое: 2 → оканчивается также как и (на 6).

3 → оканчивается также как и (на 1).

4 → оканчивается цифрой 6.

7 → оканчивается на 7

оканчивается на 1 → 7 оканчивается на 7.

Сложим последние цифры (единицы слагаемых) 6+1+6+7=20 оканчивается 0, значит заданное число кратно 10.

2. Доказать что значение выражения делится на 10.

Решение:

Последняя цифра данного выражения должна быть нулем. Имеем:

оканчивается на 6 (т.к. 6 в любой степени оканчивается на 6)

= - последняя цифра 2

= - последняя цифра 4

Сумма единиц 6-2-4=0 данное выражение оканчивается нулем, значит, оно делиться на 10.

1. Доказать что выражение кратно 55

Решение:

= → один из множителей 55, значит, выражение делиться на 55.

4. Доказать что делится на 15.

Решение:

Каждое из оснований являются степенью числа 3, тогда =

Один из множителей 45, значит, выражение делится на 15.

5. Доказать что 45 делится на 75

Решение:

Способ 1.

данное выражение делиться на .

Способ 2.

=(25*3), тогда , значит, выражение делится на .

6. Доказать что делится на 10.

Решение: Показатель степени 10 – четное число, значит делится на сумму оснований, т.е. на 10.

7. Доказать что делится на 16 и 40.

Решение: Показатель степени 150 – четное число, значит, делится на разность оснований 28-12=16, и на сумму оснований 28+12=40.

С 6. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Решение:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.

Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 7, или З и 6, получаем требуемые примеры.

Ответ: да.

Разные задачи на делимость.

1. Дописать к 523 ... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.

Решение:

Воспользуемся признаками делимости.

1. Сумма цифр получившегося числа должна делиться на 9.

Значит три последние цифры в сумме должны составлять числа 8, 17, 26 и т.д., так как сумма первых трёх равна 10.

2. Разность последней и первой граней должна делиться на 7.

3. Искомое число должно оканчиваться чётной цифрой и число, образованное двумя последними цифрами, делиться на 4.

Составляя числа, соответствующие всем трём требованиям, получим 523 152 и 523 656.

Ответ: 523 152 и 523 656.

2. Чему равен наименьший простой делитель числа 311 + 513?

Решение:

Числа 311 и 513 нечетны, поэтому их сумма четна, то есть, делится на 2.

Но это значит, что ее наименьший простой делитель равен 2.

3. Трехзначное число поделили на 9. Оказалось, что у частного сумма цифр на 9 меньше суммы цифр исходного числа. Сколько всего таких чисел?

Решение:

Исходное число делилось на 9. Значит, его сумма цифр делилась на 9. После деления на 9 получилось число, сумма цифр которого меньше на 9, чем у исходного числа. Значит, сумма цифр частного также делится на 9, то есть частное тоже делится на 9. Следовательно, исходное число делилось на 81, таких чисел всего 11 - это 162, 243, 324, 405, 486, 567, 648, 729, 810, 891 и 972. у всех этих чисел сумма цифр равна 18. Но из этого списка надо выбросить все числа, у которых сумма цифр меньше 18, после этого останется 6 чисел: 486, 567, 648, 729, 891 и 972. Поделим каждое из них на 9: 54, 63, 72, 81, 99, 108.

У всех чисел, кроме предпоследнего, сумма цифр при этом уменьшится на 9, таким образом, мы нашли 5 чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: 486, 567, 648, 729, 972.

4. К числу 13 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 45.

Решение:

Чтобы число делилось на 45, оно должно заканчиваться либо на О , либо на 5 и сумма

цифр должна делиться на 9.

9135--оканчиваетсяна5,9+ 1+3+5 = 18,18:9=2

5130— оканчивается на 0, 5 + 1 + З = 9, 9 : 9 1

Ответ: 9135, 5130.

5. К числу 10 справа и слева приписать по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 36.

Решение:

Чтобы число разделилось на 36, оно должно делится на 4 и на 9.

Воспользуемся признаками делимости на 9 и на 4.

4104 делитсяна4 4+1+4=9 9:9= 1

8100 делится на 4 8+1 = 9 9:9 = 1

9108 делитсяна4 9+1+8= 18 8+1=9 9:33

Ответ: 4104, 8100, 9108.

6. Число 147*2 делится на 7. Какая цифра зашифрована значком *?

Решение:

Заметим, что число 14700 делится на 7. Значит, и число *2 должно делиться на 7, а это

возможно лишь если * = 4

Ответ: 4

7. Какую цифру надо поставить вместо звёздочки в четырёхзначном числе 777*, чтобы получилось число, делящееся на 6?

Решение:

Число должно быть четным и его числовой корень должен делиться на 3, только тогда

делится на 6.

7776—четное 7+7+7+6=27 2+7=9 9:33

7770—четное 7+7+7=21 2+1=3

Ответ: 7776, 7770

8. Число 82** делится на 90. Найти делимое.

Решение:

Чтобы число делилось на 90, оно должно делится на 10 и на 9.

Для того чтобы число делилось на 10 оно должно заканчиваться 0, а для того что бы оно

делилось на 9.Его числовой корень должен делиться на 9.

8280 - оканчивается нулём, 8+2+8 = 18 8+1 = 9. Числовой корень делится на 9.

Ответ: 8280

9. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Решение:

Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 3 и на 5, а значит оканчиваться

на 0 или на 5 и сумма цифр должна делиться на 3. Это числа – 1155, 3150, 4155, 6150,

7150, 9150.

Ответ: 1155,3150, 4155, 6150

1. Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?

Решение:

Чтобы число делилось на 45, оно должно делиться на 5 и на 9, значит оно должно

оканчиваться на О или 5 и сумма цифр должна делиться на 9. Эти числа — 2970, 6975.

Ответ: 2970, 6975

Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:

1) Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом

фокусе.

Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему

его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложит полученное число разделить на 11, а результат — на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.

2) Можно так же использовать признак делимости на 73 и 137. Предложить друзьям загадать пятизначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное десятизначное число на 137. Затем предложить полученное число разделить на 73. к удивлению друзей, получится в результате загаданное им число.

Заключение

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 4, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости.

Самостоятельно были выведены и проверены признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 25, 30, 36, 45, 90.

Добыты из разных источников признаки делимости на 7, 8, 11, 13, 17, 19, 20, 23, 27, 29, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99, 101.

Поняла , что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

В ОГЭ признаки делимости часто используются:

• при нахождении общего знаменателя дробей,

• при сокращении дробей

В ЕГЭ признаки делимости используются:

• при решении уравнений в целых числах;

• при решении задач, где нужно проверить делимость на некоторое составное число

В своей работе я рассмотрела решение некоторых задач, эти задачи очень интересны и красивы.

Моя работа может быть использована на уроках математики, на внеклассных занятиях с учащимися, с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру»

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

• более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел»

• подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.

Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый, кому это интересно, мог взять мою работу и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки теории чисел.

Литература

• Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»

• «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»

• «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.

• «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

• «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.

• Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

• Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

• Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
  издательство «Наука», 1988.

• И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.

• Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.

• Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

• Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

• Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

Приложения

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Задача № 2.

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число которое делиться на 10;

Б) четное число;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Задача № 3

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 4

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

(Нужно знать признак делимости на 11).

Ответ: 987652413

102347586

Задача № 5

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Задача № 6

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 7

Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?

Ответ: цифрой 3.

Задача № 8.

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 9.

Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.

Ответ: Р=5.