Построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде.

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

©Затеева Валентина Павловна ,

учитель математики школы № 15 с углубленным изучением отдельных предметов.

Энгельс 2018г

Содержание:

• Цели и задачи
• Введение
• Понятие секущей плоскости
• Определение сечения
• Правила построения сечений
• Виды сечений тетраэдра
• Виды сечений параллелепипеда
• Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
• Задача на построение сечения тетраэдра с объяснением
• Задача на построение сечения тетраэдра по наводящим вопросам
• Второй вариант решения предыдущей задачи
• Задача на построение сечения параллелепипеда
• Задача на построение сечения параллелепипеда
• Источники информации
• Пожелание учащимся

Цель работы:

Развитие пространственных представлений у учащихся.

Задачи:

• Познакомить с правилами построения сечений.
• Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости.
• Сформировать умение применять правила построения сечений при решении задач по темам «Многогранники».

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

L

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

L

Многоугольник , сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

При этом необходимо учитывать следующее:

1. Соединять можно только две точки, лежащие

в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

• Четырехугольники

• Треугольники

Параллелепипед имеет 6 граней

• Треугольники

• Пятиугольники

В его сечениях

могут получиться:

• Четырехугольники

• Шестиугольники

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

D

D

• Проведем прямую через

точки М и К, т.к. они лежат

в одной грани (АDC).

M

N

2. Проведем прямую через точки К и N, т.к. они лежат в одной грани (СDB).

K

B

A

B

A

C

C

3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN.

4. Треугольник MNK –

искомое сечение.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

D

1. Проводим КF.

2. Проводим FE.

3. Продолжим EF, продол- жим AC.

F

4. EF AC =М

E

5. Проводим MK.

M

6. MK AB=L

C

A

7. Проводим EL

L

EFKL – искомое

сечение

K

B

Правила

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

D

С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку?

Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку ?

Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение.

ЕК и АС

С точкой F

ЕLFK

Какие точки можно сразу соединить?

F и K, Е и К

F

L

C

M

A

E

K

B

Правила

Второй способ

Построить сечение тетраэдра плоскостью,

проходящей через точки E, F, K.

D

F

L

C

A

E

K

B

Правила

Первый способ

О

Способ №2.

Способ №1.

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью,

проходящей через точки M,A,D.

В 1

D 1

E

М

A 1

С 1

В

D

А

С

1. AD

2. MD

3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A 1 B 1 C 1 )

4. AE

5. AEMD – сечение.

Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1 , М, N

Правила

В 1

D 1

С 1

A 1

P

К

В

Е

D

А

N

С

M

6. КМ

O

7. Продолжим MN и BD.

1. MN

3.MN ∩ BA=O

8. MN ∩ BD=E

2.Продолжим MN,ВА

4. В 1 О

9. В 1 E

5. В 1 О ∩ А 1 А=К

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Источники информации

• 1. Геометрия 10-11: учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.,М.Просвещение
• 2. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы / Б.Г.Зив,С.-Петербург, НПО «Мир и семья», изд-во «Акация».
• 3. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы / Д.И.Аверьянов, П.И.Алтынов – М.: Дрофа

ВЫ МНОГОЕ УЗНАЛИ

И МНОГОЕ УВИДЕЛИ!

ТАК ВПЕРЕД, РЕБЯТА:

ДЕРЗАЙТЕ И ТВОРИТЕ!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.