Построение сечения методом параллельного проектирования.

Построения сечения методом параллельного проектирования

Работу выполнила преподаватель математики

школы №398 ЮВАО города Москвы

Бондаренко Лилия Иосифовна

Москва 2014г.

Всем известно, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно построить плоскость, и притом только одну, поэтому для построения сечения задаются три точки. Во всех учебниках и пособиях рассматриваются случаи, когда заданные точки лежат на ребрах многогранника. Рассмотрим те случаи, когда заданные точки являются внутренними точками граней.

• Для наглядности будем строить сечение красным (и все точки этого сечения, и прямые будут красными )
• Если грань имеет красную точку , то она имеет и красную прямую, проходящую через эту точку
• Пересекаются только те прямые, которые лежат в одной плоскости

Все эти утверждения основаны на аксиомах стереометрии:

-Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку

-Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости

Шаг №1

Рассмотрим построение сечения

на примере четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

Шаг №2

Пусть даны красные точки Mє(ABB 1 A 1 ); Nє(BCC 1 B 1 ) и Kє(ADD 1 A 1 )

Шаг №3

Cпроектируем эти точки на нижнее основание. Для этого опускаем перпендикуляры на ребра нижнего основания граней, в которых лежат красные точки .

Получим точки М 1 , N 1 и K 1.

Т.к. MM 1 , NN 1 , KK 1 перпендикулярны основанию, то они параллельны.

Шаг №4

Рассмотрим плоскость, образованную двумя параллельными прямыми NN 1 и KK 1 . Прямые NK и N 1 K 1 лежат в этой плоскости и пересекаются. Найдем точку их пересечения. Назовём её точкой 1. Она будет красная , т.к. принадлежит NK и принадлежит основанию, т.к. N 1 K 1 принадлежит основанию.

Шаг №5

Аналогичным образом получаем точку 2 , как точку пересечения прямых MN и M 1 N 1

Шаг №6

Точки 1 и 2 – красные и лежат в основании.

Проводим через точки 1 и 2 прямую, по которой красная плоскость будет пересекаться с основанием—прямую L

Шаг №7

Для того чтобы построить сечение, нужно в каждой грани, в которой есть красная точка, построить красную прямую .

Выбираем ту грань, в которой есть красная точка и пересекаем ребро нижнего основания этой грани с прямой L ;

получаем точку 3

Шаг №8

Соединяем точку 3 с красной точкой , лежащей в грани, основание которой мы пересекли с прямой L ;

получаем точки 4 и 5 , лежащие на ребрах этой грани.

Шаг №9

Т.к. теперь у нас есть точка 4 , которая лежит на пересечении двух граней, в которых есть красные точки , то мы их соединяем, получая последние точки и тем самым завершая сечение

Проделываем так в каждой грани, пока сечение не замкнется.

Сечение готово!

Сечение 4576 построено!

Стоит обратить внимание на изображение линий: вспомогательные линии чертятся пунктиром, сечение- сплошной;

Обычно сечения принято заштриховывать внутри.

Все три заданные точки лежат на этом сечении.

В оформлении работы принимали участие ученики 10 класса Отог Владислав и Мешков Александр.