Поурочные планы по геометрии 7 класс автор Атанасян

Урок 1. Прямая и отрезок

Цели урока:

1. систематизация знаний о взаимном расположении точек и прямых;

2. познакомить учащихся со свойством прямой (через любые две точ­ки можно провести прямую и притом только одну);

3. рассмотреть прием практического проведения прямых на плоско­сти (провешивание).

Ход урока

I.Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели.

II. Вводная беседа

Вводную беседу можно провести, используя текст введения к учеб­нику, приложение 2 учебника и дополнительную литературу.

Геометрия - одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских па­пирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках. Название науки «геометрия» древнегреческого происхождения, оно со­ставлено из двух древнегреческих слов: «gе» — «земля» и "metreo" — «из­меряю» (землю измеряю).

Появление и развитие геометрических знаний связано с практичес­кой деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих гео­метрических фигур. Например, название фигуры трапеция происхо­дит от греческого слова trapezion — «столик», от которого произошло также слово «трапеза». Термин линия возник от латинского linum— «лен, льняная нить». Практические потребности людей (сооружение жилищ, храмов, желание украсить одежду, рисовать картины) способствовали приобретению и накоплению геометрических, сведений, которые из­начально передавались в устной форме из поколения в поколение. Но­вые сведения и факты добывались опытным путем, выводились неко­торые правила (например, правило вычисления площадей) и данная • наука не являлась точной. И только в VI веке до нашей эры древнегреческий ученый Фалес начал получать новые геометрические сведения с помощью доказательств. В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид написал сочинение «Начала» и почти два тысячелетия геометрия изучалась по этой книге, а наука в честь ученого была названа евклидовой геометрией.

В настоящее время геометрия - это целая наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Далее целесообразно продолжить беседу, опираясь на ранее полученные знания в курсе математики 1—6 классов, в виде ответов на вопросы.

— Какие геометрические фигуры вам известны?

Возможные ответы учащихся можно записать на доске, распределив их на две группы следующим образом:

куб

цилиндр

шар

конус.

пирамида

параллелепипед

прямая

ломаная

отрезок

луч

прямоугольник

квадрат многоугольник

- По какому принципу данные геометрические фигуры записаны в
двух различных группах? (В первой группе записаны фигуры, суще­ствующие на плоскости, а во второй группе — фигуры, существую­щие в пространстве).

Часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры на плоскости, называется планиметрией, а та часть, в которой рассматриваются фигу­ры в пространстве, называется стереометрией. Мы начнем изучение гео­метрии с планиметрии.

III. Изучение нового материала

В курсе математики учащиеся уже знакомы с понятиями прямая, от­резок, умеют их обозначать, чертить, знают о принадлежности точек пря­мой и отрезку, поэтому нет необходимости повторять уже известные фак­ты. Будет целесообразнее организовать повторение данной темы в ходе выполнения следующих упражнений при параллельном введении новых понятий, определений и т.д.

К доске вызывается один из учащихся, остальные работают в тетра­дях. Учитель читает задание и по мере необходимости вводит новые по­нятия, символы, делает необходимые записи на доске.

1. Начертите прямую. Как ее можно обозначить? (Прямая а или АВ.)

2. Отметьте точку С, не лежащую на данной прямой, и точки Д Е, К, лежащие на этой же прямой.

В математике существуют специальные символы, позволяющие кратко записать какое-либо утверждение. Символы означают соот­ветственно «принадлежит» и «не принадлежит» и называются символами принадлежности.

1. Используя символы принадлежности, запишите предложение «Точка О принадлежит прямой А В, а точка С не принадлежит прямой а».

• Сколько прямых можно провести через заданную точку А? (Через заданную точку А можно провести множество прямых.)

• Сколько прямых можно провести через две точки? (Одну прямую.)

• Через любые две точки можно провести прямую? (Да.)

Итак, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Это утверждение назовем свойством прямой.

1. Начертите прямые ХУи МК, пересекающиеся в точке О.

Для того, чтобы кратко записать, что прямые ХУ и МК пересекаются в точке О, используют символ и записывают так: XY МК =О.

— Сколько общих точек может быть у двух прямых? (Две прямые мо­гут иметь или одну общую точку или ни одной общей точки.)

1. На прямой а отметьте последовательно точки А, В, С, О. Запишите все получившиеся отрезки. (Получились отрезки АВ, ВС, СД, АС, АД, ВД, рис. 1.5).

2. Начертите прямые а и в, пересекающиеся в точке М. На прямой а отметьте точку N, отличную от точки М.

а) Являются ли прямые А/ТУ и а различными прямыми?

б) Может ли прямая в проходить через точку Л?
Решение (см. рис. 1.6):

а) Прямая МN и прямая а совпадают, то есть это одна и та же прямая.

б) Прямая в не может проходить через точку N, так как она уже проходит через точку М, а через точки М и N можно провести прямую и притом только одну (это прямая а).

8. Дана прямая ЕР, А ЕР, В ЕР. Может ли прямая АВ не пересекать отрезок ЕР? (Не может. Рис. 1.7.)

Рис. 1.7

Для решения задач 6-8 можно преложить учащимся сделать рисунки и дать 1-2 минуты на обдумывание ответа, а затем обсудить различные варианты ответов. IV. Закрепление изученного материала

В зависимости от подготовленности учащихся можно предложить задания для самостоятельного решения следующим об­разом:

I уровень
Решить задачи № 2, 5, 6 у

II уровень
Решить задачи:

1. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки. (Ответ: см. рис. 1.8: а) 3 точки пересечения; б) 1 точка пересечения; в) 2 точки пересечения; г) ни одной точки пересечения.)

2. На плоскости даны три точки. Сколько прямых можно провести через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две из данных точек? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте рисунки. (Ответ: см. рис. 1.9: а) 1 прямая; б) 3 прямые.)

Желательно, чтобы в ходе самостоятельного решения задач учитель контролировал работу учащихся, решающих задачи I уровня сложности с целью проверки успешности усво­ения темы урока и своевременной помощи при возникающих у уча­щихся затруднениях.

г)

в)

В конце урока заслушать уча­щихся, выполняющих задачи II уровня сложности, выполнив на доске необходимые рисунки. При этом учитель должен обратить вни­мание на то, чтобы учащиеся, не ре­шавшие данные задачи, поняли суть решения.

Домашнее задание

1. § 1, 2, вопросы 1-3.

1. Решить задачи. I уровень -№1—4 из рабочей тетради; II уровень - № 1, 3, 4, 7.

3. Дополнительная задача:

Сколько различных прямых мож­но провести через четыре точки? Рассмотрите все случаи и сделайте рисунки.

Рис. 1.9

Рис. 1.8

В конце данного урока желатель­но обратить внимание учащихся на то, что дома надо внимательно прочитать пункты 1 и 2, и к следующему уроку подготовить ответы на воп­росы 1-3 на стр. 25 учебника. Пункт 2 на уроке не рассматривался, ученики дома должны самостоятельно с ним ознакомиться. Задачи № 1,3, 4, 7 решить в тетради всем учащимся, а дополнительную задачу - желающим, но за верное решение дополнительной задачи можно получить хорошую оценку.

Такие же напоминания можно сделать еще на нескольких уроках.

Урок 2. Луч и угол

Цели урока:

1. повторить, что такое луч, начало луча, угол, его стороны и вершины;

2. ввести понятие внутренней и внешней областей неразвернутого угла;

3. ознакомить учащихся с различными обозначениями луча и угла.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

II. Проверка домашнего задания

1. Теоретический опрос по вопросам 1—3.

Глава I. Начальные геометрические сведения

9

Ход урока

I.Организационный момент

Сообщить тему урока и сформулировать цели.

II. Вводная беседа

Вводную беседу можно провести, используя текст введения к учеб­нику, приложение 2 учебника и дополнительную литературу.

Геометрия - одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских па­пирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках. Название науки «геометрия» древнегреческого происхождения, оно со­ставлено из двух древнегреческих слов: «gе» — «земля» и "metreo" — «из­меряю» (землю измеряю).

Появление и развитие геометрических знаний связано с практичес­кой деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих гео­метрических фигур. Например, название фигуры трапеция происхо­дит от греческого слова trapezion — «столик», от которого произошло также слово «трапеза». Термин линия возник от латинского linum— «лен, льняная нить». Практические потребности людей (сооружение жилищ, храмов, желание украсить одежду, рисовать картины) способствовали приобретению и накоплению геометрических, сведений, которые из­начально передавались в устной форме из поколения в поколение. Но­вые сведения и факты добывались опытным путем, выводились неко­торые правила (например, правило вычисления площадей) и данная • наука не являлась точной. И только в VI веке до нашей эры древнегреческий ученый Фалес начал получать новые геометрические сведения с помощью доказательств. В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид написал сочинение «Начала» и почти два тысячелетия геометрия изучалась по этой книге, а наука в честь ученого была названа евклидовой геометрией.

В настоящее время геометрия - это целая наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Далее целесообразно продолжить беседу, опираясь на ранее полученные знания в курсе математики 1—6 классов, в виде ответов на вопросы.

— Какие геометрические фигуры вам известны?

Возможные ответы учащихся можно записать на доске, распределив их на две группы следующим образом:

куб

цилиндр

шар

конус.

пирамида

параллелепипед

прямая

ломаная

отрезок

луч

прямоугольник

квадрат многоугольник

- По какому принципу данные геометрические фигуры записаны в
двух различных группах? (В первой группе записаны фигуры, суще­
ствующие на плоскости, а во второй группе — фигуры, существую­
щие в пространстве).

Часть геометрии, в которой рассматриваются фигуры на плоскости, называется планиметрией, а та часть, в которой рассматриваются фигу­ры в пространстве, называется стереометрией. Мы начнем изучение гео­метрии с планиметрии.

III. Изучение нового материала

В курсе математики учащиеся уже знакомы с понятиями прямая, от­резок, умеют их обозначать, чертить, знают о принадлежности точек пря­мой и отрезку, поэтому нет необходимости повторять уже известные фак­ты. Будет целесообразнее организовать повторение данной темы в ходе выполнения следующих упражнений при параллельном введении новых понятий, определений и т.д.

К доске вызывается один из учащихся, остальные работают в тетра­дях. Учитель читает задание и по мере необходимости вводит новые по­нятия, символы, делает необходимые записи на доске.

1. Начертите прямую. Как ее можно обозначить? (Прямая а или АВ, см. рис. 1.1.)

2. Отметьте точку С, не лежащую на данной прямой, и точки Д Е, К, лежащие на этой же прямой {рис. 1.2).

В математике существуют специальные символы, позволяющие кратко записать какое-либо утверждение. Символы е и е означают соот­ветственно «принадлежит» и «не принадлежит» и называются символами принадлежности.

1. Используя символы принадлежности, запишите предложение «Точка О принадлежит прямой А В, а точка С не принадлежит прямой а». (Д АВ, С а.)

2. Используя рисунок 1.3 и символы , запишите, какие точки принадлежат прямой в, а какие - нет. (F, В, А, С в; К, Е, N в.)

• Сколько прямых можно провести через заданную точку А? (Через заданную точку А можно провести множество прямых.)

• Сколько прямых можно провести через две точки? (Одну прямую.)

• Через любые две точки можно провести прямую? (Да.)

Итак, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Это утверждение назовем свойством прямой.

5. Начертите прямые ХУи МК, пересекающиеся в точке О (рис. 1.4).

.С

Р Ь

^

Рис. 1.3

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Урок 34
АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Цели: дать представление об аксиомах геометрии; ввести аксиому параллельных прямых и следствия из нее.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Беседа об аксиомах геометрии (использовать материал пункта 27 учебника и приложение 1 на с. 344–348 учебника, приложение 2 на с. 349–351, а также книгу: Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1982).

2. Записать в тетрадях:

аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия.

3. Предложить учащимся задачу, решение которой дано в начале п. 28: через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Решение этой задачи доказывает существование прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

4. Вопрос к учащимся: сколько таких прямых можно провести?

5. Рассказать учащимся о том, что в геометрии Евклида, изложенной им в книге «Начала» ответ на данный вопрос следует из знаменитого пятого постулата, и этот ответ таков: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Пятый постулат знаменит тем, что долгие годы его пытались доказать на основе остальных аксиом Евклида. И лишь в прошлом веке, во многом благодаря великому русскому математику Н. И. Лобачевскому, было доказано, что пятый постулат не может быть выведен из остальных аксиом. Поэтому утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, принимается в качестве аксиомы.

6. Заострить внимание учащихся на том, что в аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (единственность прямой), а существование такой прямой доказывается.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно решить задачи №№ 196, 197.

Указание: при решении задачи № 197 полезно на рисунке показать учащимся два возможных случая расположения прямых:

1) все четыре прямые пересекают прямую р;

2) одна из четырех прямых параллельна прямой р, а три другие прямые пересекают ее.

Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую р.

2. Разъяснение смысла понятия «следствия».

Записать в тетрадях: следствиями называются утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

3. Рассмотреть следствия 1° и 2° из аксиомы параллельных прямых.

4. Решить задачи №№ 198, 200, 218.

Решение задачи № 218: отметим произвольную точку, не лежащую на прямой b, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой b. Так как прямая а пересекает прямую b, то она пересекает и прямую с. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой b.

5. Решить задачу № 219*.

Решение

Предположим, что прямые а и b не параллельны, то есть пересекаются. Тогда можно провести прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую b (задача № 218). Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и а || b.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 27 и 28; ответить на вопросы 7–11 на с. 68 учебника; решить задачи №№ 217, 199.

Урок 35
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Цели: рассмотреть свойства параллельных прямых; добиться от учащихся понимания того, что накрест лежащие, соответственные и односторонние углы можно рассмотреть для любых двух прямых и секущей, но только в случае параллельных прямых накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°.

Ход урока

I. Проверка усвоения материала учащимися.

1. Сформулировать определение параллельных прямых.

2. Повторить признаки параллельности двух прямых.

3. Сформулировать аксиому параллельных прямых.

4. Повторить следствия из аксиомы параллельных прямых.

5. Устно решить задачу: докажите, что прямая, параллельная основанию АС равнобедренного треугольника АВС, перпендикулярна прямой ВD, где ВD – медиана треугольника.

II. Объяснение нового материала.

1. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.

2. Привести примеры изученных теорем и выделить в них условие и заключение (это делают учащиеся).

3. Ввести понятие теоремы, обратной данной.

4. Сформулировать теоремы, обратные трём теоремам п. 25, выражающим признаки параллельности прямых.

Необходимо сравнить условия и заключения двух теорем: теоремы, выражающей признак параллельности двух прямых, и обратной, составив следующую таблицу:

Признак параллельности прямых а и b	Свойство параллельных прямых а и b
Дано: прямые а и b, секущая с, 1 и 2 – накрест лежащие углы; 1 = 2.	Дано: прямые а и b, секущая с, 1 и 2 – накрест лежащие углы; а || b.
Доказать: а || b.	Доказать: 1 = 2.

5. Рассмотреть доказательство теоремы о накрест лежащих углах по рисунку 113 и таблице.

6. Акцентировать внимание учащихся на методе доказательства от противного, с помощью которого и была доказана теорема. Кроме того, важно отметить, что если верно некоторое утверждение, то отсюда еще не следует, что и обратное утверждение тоже верно. Например, рассмотрим два утверждения:

1) Если точка С – середина отрезка АВ, то АС = ВС.

2) Если АС = ВС, то точка С – середина отрезка АВ. Второе утверждение является обратным первому. Первое утверждение верно, в то время как второе неверно. В самом деле, в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ отрезки АС и ВС равны, но точка С не является серединой отрезка АВ.

7. Самостоятельно по учебнику учащиеся изучают теоремы о свойствах соответственных и односторонних углов, образованных двумя параллельными и секущей.

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно по рисунку 114 учебника доказать следствие: если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

2. Устно решить №№ 201, 205 по рисунку 117 и № 209 по рисунку 118.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 29; повторить пункты 15–28; ответить на вопросы 1–15 на с. 68 учебника; решить задачи №№ 202 и 212.

Урок 36
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ.

Цели: закрепить знание свойств параллельных прямых в ходе выполнения упражнений и решения задач; систематизировать знания учащихся; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

Вариант II

1. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.

2. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

3. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°.

II. Выполнение упражнений.

1. По готовому на доске чертежу рисунка 1 решить задачи:

Рис. 1

1) Дано: а || b, с – секущая; 1 = 42. Найти 1 и 2.

2) Дано: а || b, с – секущая; 1 – 2 = 30°. Найти 1 и 2.

3) Дано: а || b, с – секущая; 1 : 2 = 4 : 5. Найти 1 и 2.

4) Дано: а || b, с – секущая; 2 составляет 80 % от 1. Найти 1 и 2.

2. На доске и в тетрадях решить задачи №№ 203 (б), 211 (в).

Решение задачи № 211 (в)

Рис. 2

Дано: а || b; с – секущая, АМ – биссектриса DАK; DВ – биссектриса АDМ. Доказать: АМ DВ. Доказательство По условию АМ – биссектриса угла DАK, тогда 1 = 2, но 2 = = 5 (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых а || b и секущей АМ).

Значит, 1 = 5, следовательно, треугольник АDМ – равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. По условию DВ – биссектриса угла АDМ, тогда и DВ – биссектриса равнобедренного треугольника АDМ, проведенная к основанию АМ, следовательно, DВ – высота равнобедренного треугольника АDМ, поэтому DВ АМ.

3. Устно по готовому чертежу на доске (см. рис. 3) решить № 220.

Решение

Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы 1 и 2 не равны: 1 ≠2. Предположим, что прямые а и b параллельны. Тогда согласно свойству параллельных прямых 1 =2, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно и прямые а и b пересекаются.

4. Решить задачу № 221.

Решение

Рис. 3

Пусть О и D – середины сторон АС и АВ. Треугольники АОМ и СОВ равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ОС, ВО = ОМ, АОМ = СОВ), поэтому АОМ = СВО, значит, АМ || ВС. Аналогично АND = = ВСD и, значит, АN || ВС.

Итак, через точку А можно провести только одну прямую, параллельную ВС. Следовательно, прямые АМ и AN совпадают, то есть точки M, А и N лежат на одной прямой.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить изученный материал пунктов 24–29; ответить на вопросы 1–15 на с. 68 учебника; подготовиться к устному опросу; решить задачи №№ 203(а), 208, 211(а).

Уроки 37
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ»

Цели: привести в систему знания учащихся по данной теме, добиться четкого понимания того, когда в задаче нужно применить признак параллельности двух прямых, а когда – свойство параллельных прямых.

Ход урока

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Вариант I

1. Сформулируйте один из признаков параллельности двух прямых.

2. Докажите, что прямые а и b, изображенные на рисунке 1, параллельны, если 1 = 36°; 8 = 144°.

3. На рисунке 2 прямые АD и ВK параллельны, луч ВD – биссектриса угла АВK, АВK = 80°. Найти углы треугольника АВD.

Вариант II

1. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

2. Дан треугольник СDЕ. Сколько прямых, параллельных стороне СЕ, можно провести через вершину D?

3. На рисунке 3 отрезки АВ и СD пересекаются в их общей середине М. Через точку В проведена прямая а, параллельная прямой АD. Докажите, что прямая а проходит через точку С.

Вариант III

1. Сформулируйте одно из свойств параллельных прямых.

2. На рисунке 4 прямые а и b параллельны; 2 = 132°. Найдите 7.

3. На рисунке 5 АВ = ВС; ВF || АС. Докажите, что луч ВF – биссектриса угла СВD.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

II. Решение задач по готовым чертежам.

1. На рисунке 6 АМ = АN, МNС = 117°; АВС = 63°. Докажите, что MN || ВС.

2. На рисунке 7 АD = DС, DЕ || АС, 1 = 30°. Найдите 2 и 3.

3. На рисунке 8 ВD || АС, луч ВС – биссектриса угла АВD; ЕАВ =
= 116°. Найдите угол ВСА.

4. На рисунке 9 лучи ВО и СО – биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и N так, что ВМ = МО, СN = NО. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9

IV. Итог урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 24–29; решить №№ 204, 207.

Уроки 40
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Цели: привести в систему знания учащихся по данной теме, подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока

I.

II. Решение задач по готовым чертежам.

1. На рисунке 1 АЕ – биссектриса треугольника АВС, АD = DЕ, АЕ = СЕ, АСВ = 37°. Найдите ВDЕ.

2. На рисунке 2 АD – биссектриса треугольника АВС, АО = ОD, МО АD. Докажите, что МD || АВ.

Рис. 1 Рис. 2

3. Решить задачи №№ 217, 211 (б).

III. Самостоятельная работа (проверочного характера с анализом ее выполнения).

Вариант I

1. На рисунке 12 прямые а и b параллельны, угол 2 на 34° больше угла 1. Найдите угол 3.

2. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая СD, параллельная стороне АВ. Найдите углы А и В треугольника, если DСВ = 37°.

Вариант II

1. На рисунке 13 прямые а и b параллельны, угол 2 в четыре раза меньше угла 1. Найдите угол 3.

2. Через вершину С треугольника СDЕ с прямым углом D проведена прямая СР, параллельная прямой DЕ. Найдите углы С и Е треугольника, если РСЕ = 49°.

Рис. 3 Рис. 4

IV. Итог урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, решить № 210.

Урок 41
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 «ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ»

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Параллельные прямые» и применение знаний к решению задач.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Отрезки ЕF и РD пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || DF.

2. Отрезок DМ – биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СD и пересекающая сторону DЕ в точке N. Найдите углы треугольника DМN, если СDЕ = 68°.

Вариант II

1. Отрезки MN и EF пересекаются в их середине P. Докажите, что ЕN || MF.

2. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если ВАС = 72°.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке Е так, что АЕ = ЕD. Найдите углы треугольника АЕD, если ВАС = 64°.

2. На рисунке 14 АС || ВD, точка М – середина отрезка АВ. Докажите, что М – середина отрезка СD.

Вариант IV
(для более подготовленных учащихся)

1. Отрезок DM – биссектриса треугольника СDЕ. Через точку М проведена прямая, пересекающая сторону DЕ в точке N так, что DN = MN. Найдите углы треугольника DMN, если СDЕ = 74°.

2. На рисунке 15 АВ || DС, АВ = DС. Докажите, что точка О – середина отрезков АС и ВD.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 5–29.

Урок 43

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: доказать теорему о сумме углов треугольника, следствия из нее; ввести понятия остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; рассмотреть задачи на применение доказанных утверждений.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в контрольной работе.

2. Выполнить работу над ошибками.

II. Изучение нового материала.

1. Решить задачу по готовому чертежу на доске (см. рис.).

На рисунке ВD || АС. Найдите сумму углов треугольника АВС.

2. Вслед за решением этой задачи перед учащимися ставится вопрос: случайно ли сумма углов данного треугольника АВС оказалась равной 180° или этим свойством обладает любой треугольник?

Поиск ответа естественно приводит к формированию теоремы о сумме углов треугольника.

3. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника (рис. 124 учебника).

4. Устно решить задачи №№ 223 (а, б, г), 225, 226.

5. Перед введением классификации треугольников по углам (п. 31) учащимся задается вопрос: «Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол?».

Ответы должны быть обоснованы с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

6. Записать в тетрадях вывод из этих ответов (следствие из теоремы о сумме углов треугольника): в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий – тупой или прямой.

7. Ввести понятия остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников и обратить внимание учащихся на названия сторон прямоугольника, треугольника – гипотенуза и катет (рис. 126 учебника, модели треугольников).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 227 (а) и 224 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 228 (а, в) на доске и в тетрадях.

Решение

1) Рассмотрим два случая:

а) угол при основании равен 40°, тогда второй угол при основании равнобедренного треугольника тоже равен 40°; значит, угол при вершине равен 180° – (40° + 40°) = 100°;

б) угол при вершине равен 40°, тогда углы при основании равны (180° – 40°) : 2 = 70°.

Ответ: 40°; 40° и 100° или 40°; 70°.

2) Опираемся на доказанное в задаче № 226 утверждение: углы при основании равнобедренного треугольника острые. Значит, угол при вершине равен 100°, а углы при основании равны (180° – 100°) : 2 = 40°.

Ответ: 100°; 40° и 40°.

3. Решить задачу № 229 на доске и в тетрадях.

IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить пункты 30–31; ответить на вопросы 1; 3; 4; 5 на с. 89; решить задачи №№ 223 (в), 228 (б), 230.

Урок 44
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема о внешнем угле треугольника

Цели: закрепить знания учащихся о сумме углов треугольника при решении задач; ввести понятие внешнего угла треугольника; доказать теорему о внешнем угле треугольника; учить решению задач.

Ход урока

I. Проверка усвоения изученного материала.

1. Один учащийся на доске доказывает теорему о сумме углов треугольника.

2. Второй учащийся решает на доске задачу № 230.

3. Устно со всем классом решаем задачи по готовым чертежам.

Вычислите все неизвестные углы треугольника (по рис. 1–8).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие внешнего угла треугольника.

2. Доказать теорему о внешнем угле треугольника (рис. 125 учебника).

3. Устно решить задачу: в треугольнике АВС В = 110°. Чему равны: а) сумма остальных внутренних углов треугольника? б) внешний угол при вершине В?

4. По готовому чертежу на доске устно решить задачу:

Найдите внутренние и внешний угол СDF треугольника KСD.

III. Решение задач.

1. Решить задачу № 232 под руководством учителя на доске и в тетрадях.

Дано: CВE – внешний угол треугольника АВС; CВE = 2А. Доказать:АВС – равнобедренный. Решение Проведем биссектрисы BF и ВD смежных углов СВЕ и АВС, тогда ВF ВD (см. задачу № 83).

ВF || АС, так как 1 = 2 = 3, а углы 1 и 3 соответственные при пересечении прямых ВF и АС секущей АВ. ВD АС, так как ВD ВF, а ВF || АС. В треугольнике АВС биссектриса ВD является высотой, следовательно, треугольник АВС – равнобедренный (см. задачу № 133).

2. Обратное утверждение также верно, а именно: если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в два раза больше угла при основании.

Действительно, этот внешний угол равен сумме двух углов при основании равнобедренного треугольника, а так как углы при основании равны, то данный внешний угол в два раза больше угла при основании треугольника.

3. Решить задачу № 234 на доске и в тетрадях (рассмотреть два случая).

IV. Самостоятельная работа обучающего характера (15–20 мин).

Вариант I

1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°. Найдите два других угла треугольника.

2. В треугольнике СDЕ с углом Е = 32° проведена биссектриса CF, СFD = 72°. Найдите D.

Вариант II

1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите два других угла треугольника.

2. В треугольнике СDЕ проведена биссектриса CF, D = 68°, Е =
= 32°. Найдите СFD.

Вариант III

1. В равнобедренном треугольнике MNP c основанием МР и углом N = 64° проведена высота МН. Найдите РМН.

2. В треугольнике СDЕ проведены биссектрисы CK и DР, пересекающиеся в точке F, причем DFK = 78°. Найдите СЕD.

Вариант IV

1. В равнобедренном треугольнике CDЕ c основанием СЕ и D = 102° проведена высота СН. Найдите DСН.

2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и ВN, пересекающиеся в точке K, причем АKN = 58°. Найдите АСВ.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункты 30–31; ответить на вопросы 1–5 на с. 89; решить задачи №№ 233, 235.

Урок 33
ТЕОРЕМА О СООТНОШЕНИЯХ
МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: рассмотреть теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия из этих теорем; научить применять эти знания при решении задач.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Изучение нового материала необходимо начать с решения подготовительной задачи (см. рис.).

Дано: МОС; KМ = ОМ; K МС. Доказать: 1) 1 3; 2) МОС 3.

Доказательство

1) Треугольник ОМK – равнобедренный с основанием ОK, поэтому 1 = 2.

Угол 2 – внешний угол треугольника ОKС, поэтому 2  3.

Значит, 1 = 2 и 2 3, следовательно, 1 3.

2) Так как точка K лежит на МС, то МОС 1, а так как 1 3, то МОС 3.

2. Сформулировать и доказать первое утверждение теоремы: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (по рис. 127 учебника).

3. Устно решить задачу № 236.

4. Перед доказательством второго утверждения теоремы (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона) напомнить учащимся, какая теорема называется обратной данной, и предложить привести примеры обратных теорем, изученных ранее.

5. Дать возможность учащимся самостоятельно сформулировать утверждение, обратное первому утверждению.

На классной доске и в тетрадях учащиеся делают следующую запись:

	Теорема	Обратная теорема
Дано (условие)	АВС; АВ АС	АВС; АСВ АВС
Доказать (заключение)	АСВ АВС	АВ АС

6. Доказательство обратного утверждения проводится методом от противного. В связи с этим, после того как сформулирована обратная теорема, записаны ее условие и заключение, полезно вспомнить, что при сравнении двух отрезков, например, СD и ЕF, возможен один и только один из трех случаев: СD ЕF; СD = ЕF; СD EF. Поэтому если мы предполагаем, что СD не больше ЕF, то возможны два случая: либо СD = ЕF, либо СD ЕF. После этих предварительных рассуждений учащимся легче понять, почему при доказательстве теоремы, предположив, что АВ не больше АС, мы рассматриваем два возможных случая: либо АВ = АС, либо АВ АС.

7. Устно решить задачу № 237.

8. Следствие 1 учащиеся доказывают самостоятельно.

9. Следствие 2, выражающее признак равнобедренного треугольника, учащиеся доказывают с помощью учителя.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить следующие задачи (по готовым чертежам):

1) В треугольнике АВС угол С тупой, K – произвольная точка на стороне АС. Докажите, что ВK АВ.

2) В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка D так, что DС = ВС. Докажите, В А.

2. Решить задачу № 240.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 32; ответить на вопросы 6–8 на с. 89–90; решить задачи №№ 239, 241.

Урок 47
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: доказать теорему о неравенстве треугольника; учить решать задачи, используя изученные теоремы и следствия из них; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка усвоения изученного на предыдущем уроке мате-
риала.

1. Фронтальный опрос.

2. Два человека записывают в это время на доске решения домашних задач для последующей проверки с классом.

II. Объяснение нового материала.

1. Доказательство теоремы о неравенстве треугольника.

2. Решение задачи № 251 (есть решение в учебнике на странице 75).

После этого записать в тетрадях вывод: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше разности двух других сторон: b – с а b + с; а – с b а + с; а – b с а + b.

3. Устно решить задачу № 248.

III. Решение задач.

1. Решить задачу № 249.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) стороны равнобедренного треугольника 25 см, 25 см и 10 см. По теореме о неравенстве треугольника имеем:

25

25

Значит, основание равно 10 см;

2) стороны равны 10 см, 10 см и 25 см. По теореме о неравенстве треугольника получим 25

Ответ: основание равно 10 см.

2. Самостоятельно решить задачу № 250 (а).

3. Решить задачу № 253 на доске и в тетрадях.

Решение

1) Пусть внешний угол при вершине А равнобедренного треугольника АВС острый, тогда ВАC тупой. Следовательно, ВС – основание треугольника, а потому В = С и АВ = АС.

2) ВС АВ и ВС АС, так как против тупого угла лежит бульшая сторона треугольника. Поэтому, учитывая условия задачи, имеем: ВС – АВ =
= 4 (см), отсюда ВС = АВ + 4.

3) АВ + АС + ВС = 25 см, или 2АВ + ВС = 25 см.

Но ВС = АВ + 4, тогда 2АВ + АВ + 4 = 25;

3АВ = 21; АВ = 7 см, ВС = 11 см, АС = 7 см.

Ответ: 7 см, 11 см, 7 см.

4. Решить задачу № 246 по рисунку 129 учебника на доске и в тетрадях.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: выучить материал пунктов 30–33; ответить на вопросы 1–9 на с. 89–90; решить задачи №№ 242, 250 (б, в).

Урок 48
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Цели: повторить и обобщить изученный материал; выработать умение учащихся применять изученные теоремы при решении задач; развивать логическое мышление учащихся; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Проверка доказательства теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника и теоремы о неравенстве треугольника (у доски и за первыми партами – на листочках; это позволяет проверить у учащихся знание теорем и накопить отметки).

2. Фронтальная работа с классом:

1) ответы на вопросы 1–9 на с. 89–90;

2) устно решить задачу: существует ли треугольник со сторонами 4 м, 5 м и 8 м; со сторонами 6 см, 12 см и 3 см; со сторонами 9 дм, 9 дм и 7 дм?

3. Собрать листочки у работающих на месте и выслушать ответы учащихся, работающих у доски.

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 243 на доске и в тетрадях.

Дано: АВС; АА1 – биссектриса; СD || АА1; D АВ. Доказать: АС = АD. Доказательство Так как по условию АА1 – биссектриса треугольника АВС, то 1 = 2.

1 = 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АА₁ и СD и секущей АD. Из равенств 1 = 2; 1 = 4; 2 = 3 следует, что 3 = 4, тогда по признаку равнобедренного треугольника имеем, что треугольник DАС – равнобедренный, значит, по определению АС = АD.

2. Решить задачу 1: в прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ = 10 см. Найдите СD, если точка D лежит на гипотенузе АВ и ВD = СD.

Дано: АВС; С = 90°; АВ = 10 см. D АВ и ВD = СD. Найти: СD. Решение 2 = В, так как по условию СD = = DВ. 1 + 2 = 90°; В + А = = 90°; но 2 = В, поэтому А =  =1, значит, треугольник АDС – равнобедренный, тогда АD = СD.

Итак, СD = ВD по условию, АD = СD по доказанному, следовательно, СD = АВ = 5 см.

Ответ: 5 см.

3. Решить задачу 2: отрезок ЕK – биссектриса треугольника DЕС.

Докажите, что KС ЕС. Доказательство Угол ЕKС – внешний угол треугольника DKЕ, поэтому он больше угла 1 и, значит, больше угла 2, так как 1 = 2. Так как ЕKС 2, то ЕС KС (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).

4. Решить задачу № 298 по рисунку 145 учебника.

III. Самостоятельная работа (15 мин).

Вариант I

В треугольнике АВС проведена биссектриса ВD, А = 75°; С = 35°.

1) Докажите, что треугольник ВDС – равнобедренный.

2) Сравните отрезки АD и DС.

Вариант II

В треугольнике СDЕ проведена биссектриса ЕF, C = 90°; D =
= 30°.

1) Докажите, что треугольник DЕF – равнобедренный.

2) Сравните отрезки CF и DF.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 17–33; решить задачи №№ 244, 252, 297.

Урок 49
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 «СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Цели: проверить знания и умения учащихся в решении задач и применении изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. На рисунке 1 АВЕ = 104°, DСF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.

2. В треугольнике СDЕ точка М лежит на стороне СЕ, причем СМD острый. Докажите, что DЕ ДМ.

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Вариант II

1. На рисунке 2 ВАЕ = 112°, DВF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС.

2. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем NKP острый. Докажите, что KР МР.

3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. На рисунке 1 СВМ = АСF; Р_АВС = 34 см, ВС = 12 см. Найдите сторону АС треугольника АВС.

2. В треугольнике MNK K = 37°, М = 69°, NP – биссектриса треугольника. Докажите, что МР РK.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

Вариант IV
(для более подготовленных учащихся)

1. На рисунке 2 ЕАМ = DВF; ВС = 17 см, Р_АВС = 45 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.

2. В треугольнике СDЕ Е = 76°, D = 66°, ЕK – биссектриса треугольника. Докажите, что KС DK.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Рис. 1 Рис. 2

III. Итоги урока.

Урок 51
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: рассмотреть некоторые свойства прямоугольных треугольников и показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Устно решить задачу № 254 (использовать демонстрационный равнобедренный прямоугольный треугольник).

2. Решить задачу № 255 на доске и в тетрадях.

Дано: СDЕ; СD = DЕ; СF DЕ; D = 54°. Найти: ЕСF. Решение По условию треугольник СDЕ – равнобедренный, тогда Е = DСЕ = (180° – 54°) : : 2 = 63° (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Так как СF DЕ по условию, то треугольник СFЕ – прямоугольный, в нем CFЕ = 90°, Е = 63°; тогда ЕСF = 180° – (90° + 63°) = 27°.

Ответ: 27°.

3. Рассмотреть свойство 1° и посоветовать учащимся запомнить его, поскольку оно часто используется при решении задач.

4. Доказательство свойств 2° и 3° следует провести учителю самому с записью условия и заключения прямого и обратного утверждений на доске в виде таблицы. Эту таблицу учащиеся должны воспроизвести в своих тетрадях.

	Теорема	Обратная теорема
Дано	АВС; А = 90° В = 30°	АВС; А = 90°, АС = ВС
Доказать	АС = ВС	В = 30°

III. Закрепление изученного материала.

1. Устно решить задачи по готовым чертежам на доске:

Рис. 1 Рис. 2

1) Дано: АВС (рис. 1).

Найти: углы АВС.

2) Дано: а || b (рис. 2).

Найти: углы треугольника MON.

2. Решить задачу № 257 на доске и в тетрадях.

Рис. 3

Дано: АВС (рис. 3); C = 90°, ВАD = 120° внешний угол; АС + АВ = 18 см. Найти: АС и АВ.

Решение

CАВ = 180° – 120° = 60° (смежные углы), тогда В = 90° – 60° =
= 30° (по свойству 1°); АС = АВ (свойство 2°; катет, лежащий против угла в 30°).

По условию АС + АВ = 18 см; АВ + АВ = 18 см; 1АВ = 18 см, АВ = 12 см; значит, АС = 18 – 12 = 6 (см).

Ответ: АВ = 12 см; АС = 6 см.

3. Решить задачу № 260.

Рис. 4

Дано: DМС (рис. 4); DМ = МС; МО DС; DМ = 15,2 см; МО = 7,6 см. Найти: углы DМС. Решение Так как МО = DМ, то по свойству 3° D = 30°, тогда С = 30°, М = = 180° – (30° + 30°) = 180° – 60° = 120°.

Ответ: D = С = 30°; М = 120°.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 34; повторить пункты 15–33; ответить на вопросы 10 и 11 на с. 90; решить №№ 256, 259.

Урок 53
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать признаки равенства прямоугольных треугольников и показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сформулировать свойства прямоугольных треугольников.

2. Вспомнить признаки равенства треугольников.

3. Решить задачу: гипотенузы ВD и АС прямоугольных треугольников АВD и АВС с общим катетом АВ и с равными катетами АD и ВС пересекаются в точке О (см. рис.). Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный.

II. Изучение нового материала.

1. Учащиеся самостоятельно (устно), используя признаки равенства треугольников, доказывают признаки равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу (учитель держит перед классом два равных прямоугольных треугольника и задает наводящие вопросы).

2. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (устно) по моделям равных прямоугольных треугольников.

3. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету проводит сам учитель (рис. 133 учебника), так как доказательство этого признака требует дополнительных построений и непростых логических рассуждений.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 261 на доске и в тетрадях.

Дано: АDС; АD = DС; АВ и СK – высоты. Доказать: АВ = СK.

Доказательство

По условию АВ DС и СK АD, тогда АВС и АKС – прямоугольные; в них АС – общая гипотенуза и KАС = ВСА, так как по условию АDС равнобедренный.

Значит, АВС = СKА (по гипотенузе и острому углу).

Тогда АВ = СK.

2. Учащиеся самостоятельно формулируют и доказывают признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (задача № 268).

3. Решить задачу № 269 на доске и в тетрадях.

Указание: при решении задачи применить вывод задачи № 268 – признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 35; ответить на вопросы 12–13 на с. 90; решить задачи №№ 262, 264.

Урок 54
решение задач НА ТЕМУ: «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК»

Цели: научить применять признаки равенства прямоугольных треугольников и их свойства при решении задач; вырабатывать умение решать задачи; учить логически мыслить.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Сформулировать свойства прямоугольных треугольников.

2. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников.

3. Устно решить задачи по готовым чертежам:

1) На рисунке 1 В = С = 90°; 1 = 2. Докажите, что АВ = СD.

2) На рисунке 2 АВ = СD; ВС = АD, АFВ = СЕD = 90°. Докажите, что BF = ED; АF = EC.

3) На рисунке 3 1 = 2 = 90°, АВ = DС. Докажите, что ВС = АD.

4) На рисунке 4 АН и А₁Н₁ – высоты треугольников АВС и А₁В₁С₁; АС = А₁С₁; 1 = 2; АН = А₁Н₁.

Докажите, что АВС = А₁В₁С₁.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 263 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 267 на доске и в тетрадях.

Указание: при доказательстве применить признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

III. Самостоятельная работа (проверочного характера) (20 мин).

Вариант I

1. На рисунке 5 АD = DС; ЕD = DF; 1 = 2 = 90°. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант II

1. На рисунке 6 1 = 2, 3 = 4 = 90°; ВD = DС. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Через середину отрезка АВ проведена прямая а. Из точек А и В к прямой а проведены перпендикуляры АС и ВD. Докажите, что АС = ВD.

2. В прямоугольном треугольнике СDЕ с прямым углом Е проведена высота EF. Найдите CF и FD, если СD = 18 см, а DСЕ = 30°.

Вариант IV (для более подготовленных учащихся)

1. Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Докажите, что МА = МВ.

2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и А = 60° проведена высота СН. Найдите ВН, если АН = 6 см.

Рис. 5 Рис. 6

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 30–35; подготовиться к устному опросу по карточкам; прочитать п. 36; решить №№ 258, 265.

Урок 52
решение задач НА ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ

ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: повторить и систематизировать ранее изученный материал; вырабатывать навыки в решении задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Указать ошибки учащихся в решении задач.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Устный опрос учащихся по карточкам.

Вариант I

1. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.

2. Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 65°. Найдите остальные углы треугольника.

3. В треугольнике АВС В = 110°; биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О.

Найдите угол АОС.

Вариант II

1. Сформулируйте свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°.

2. В прямоугольном треугольнике АВС С = 90°; В = 60°, АВ =
= 15 см. Найдите ВС.

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.

Вариант III

1. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

2. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ В =В₁ = 90°; АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁. Найдите углы А₁ и С₁ треугольника А₁В₁С₁, если А = 34°; С = 54°.

3. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что АВ = АС. Через точки В и С проведены прямые, перпендикулярные соответственно к сторонам АВ и АС данного угла и пересекающиеся в точке М. Докажите, что МВ = МС.

Вариант IV

1. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

2. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы В и В₁ прямые, А = А₁, АС = А₁С₁. Найдите стороны В₁С₁ и А₁В₁ треугольника А₁В₁С₁, если ВС = 17 см, АВ = 12 см.

3. Даны два равных прямоугольных треугольника АВС и А₁В₁С₁, у которых В =В₁ = 90, А = А₁; ВН и В₁Н₁ – высоты. Докажите, чтоВНС = В₁Н₁С₁.

III. Решение задач.

1. Решить задачу № 299 на доске и в тетрадях.

Решение

При решении удобно обозначить А = х и ввести обозначения цифровые для углов, как показано на рисунке. Итак, А = х, поэтому 1 = А = х, 2 = 2х (как внешний угол АРQ), 4 = = 2 = 2х; 3 = 180° – (2 + 4) = 180° – – 4х; 5 = 180 – (1 + 3) = 3х; 6 = = 5 = 3х. Далее, 7 = В – 6, но В = С = = , поэтому 7 = – 3х = = .

Так как 8 = С, то С + 8 + 7 = 2С + 7 = 180°, или 180° – х + = 180°.

Отсюда получаем, что х = 20°. Значит, А = 20°.

Ответ: 20°.

2. Решить задачу № 311 на доске и в тетрадях.

Решение

Проведем биссектрисы углов, образованных при пересечении двух прямых, ОА и ОВ.

Возьмем произвольную точку С на одной из биссектрис и докажем, что она равноудалена от прямых ОА и ОВ, то есть докажем, что СD = СЕ. В самом деле, прямоугольные треугольники ОDС и ОЕС равны по гипотенузе (ОС – общая гипотенуза) и острому углу (1 = 2), поэтому СD = СЕ.

Докажем теперь, что любая точка М, расположенная внутри угла АОВ и равноудаленная от сторон ОА и ОВ, лежит на биссектрисе этого угла. Для этого проведем перпендикуляры MN и MP к прямым ОА и ОВ и рассмотрим прямоугольные треугольники ONM и ОРМ. Они равны по катету и гипотенузе (ОМ – общая гипотенуза, MN = MP, так как по условию точка М равноудалена от сторон ОА и ОВ), поэтому NOM = POM, то есть луч ОМ – биссектриса угла АОВ. Из доказанных утверждений следует, что искомое множество точек состоит из двух прямых, содержащих биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 15–33; решить задачи №№ 266, 297; принести циркули и линейки.

Урок 55
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ

Цели: ввести понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми, показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Изучение нового материала.

1. Ввести понятия расстояния от точки до прямой (рис. 136):

1) понятие наклонной – отрезок АМ;

2) перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой;

3) длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

2. Рассмотреть рисунок 137.

3. Рассмотреть одно из важнейших свойств параллельных прямых: разобрать доказательство теоремы «все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой» по рисунку 138.

4. Ввести понятие расстояния между параллельными прямыми: расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

5. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме. Оно лежит в основе конструкции рейсмуса (рис. 139 учебника), применяемого в столярном деле для разметки прямых, параллельных краю бруска (рис. 139).

II. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 271, 275 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 278.

Указание: воспользоваться свойством катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла в 30°.

3. Устно решить задачи №№ 281, 282 по готовым чертежам.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 37; ответить на вопросы 14–18 на с. 90 учебника; решить задачи №№ 272, 277, 283; принести циркули и линейки.

Урок 56
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПО ТРЕМ ЭЛЕМЕНТАМ

Цель: рассмотреть задачи на построение треугольника по трем элементам.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Фронтальный опрос учащихся по изученному ранее мате-
риалу.

2. Ответить на вопросы 14–18 на с. 90.

3. Двое учащихся на доске решают домашние задачи №№ 272, 277.

II. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся, что значит решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки; можно рассказать о том, что обычно задачи на построение решаются по схеме, состоящей из четырех частей: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование (описание схемы содержится в пункте «Задачи повышенной трудности к главам III и IV» на с. 92–94 учебника).

Вместе с тем нужно иметь в виду, что в VII классе, как правило, следует ограничиться только выполнением и описанием построения. В отдельных случаях можно провести устно анализ и доказательство, а элементы исследования должны присутствовать лишь тогда, когда это оговорено условием задачи.

2. Рассмотреть решение задачи № 1. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними (рис. 140).

3. Разобрать решение задачи № 2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

4. Решить задачу № 284 (рис. 142). (Решение приведено в учебнике на с. 87.)

5. Решить задачу № 290 (а) на доске и в тетрадях.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить п. 38 (1 и 2); решить задачи №№ 274, 285.

Уроки 57
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПО ТРЕМ ЭЛЕМЕНТАМ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Цель: научить учащихся решать задачи на построение, используя циркуль и линейку.

Ход урока

I. Ответы на вопросы учащихся по домашнему заданию.

II. Изучение нового материала.

1. Разобрать решение задачи № 3 на доске и в тетрадях.

Построить треугольник по трем сторонам (рис. 141 и решение задачи на с. 85–86 учебника). Провести исследование, всегда ли задача № 3 имеет решение.

2. Решить задачи №№ 286, 289, 290 (б), 291 (в), 292, 293 на доске и в тетрадях. Решение задачи № 293 приведено в учебнике на с. 88–89.

III. Самостоятельная работа (проверочного характера) (20–25 мин).

Вариант I

1. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

2. Даны отрезки PQ и P₁Q₁ и угол hk . Постройте треугольник СDЕ так, чтобы СЕ = PQ, С = hk, СF = P₁Q₁, где СF – высота треугольника.

Вариант II

1. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведенной к основанию.

2. Даны отрезки PQ и P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте треугольник ЕKF так, чтобы ЕF = PQ, KF = P₁Q₁ и FD = P₂Q₂, где FD – высота треугольника.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: пункты 37–38; вопросы 14–20 на с. 90; решить задачи №№ 273, 287, 288, 291 (а, б, г). Наиболее подготовленным учащимся можно предложить задачи №№ 294, 295, 303, 304.

Урок 60
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Цели: закрепить в процессе решения задач усвоение изученного материала по теме «Прямоугольные треугольники», продолжить формирование навыков в решении задач на построение.

Ход урока

I. Оргмомент.

II. Решение задач.

1. На доске и в тетрадях решить задачи №№ 301, 302, 308, 310, 314 (б, в), 315 (а, ж, з), 318.

2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и внешнему углу при вершине острого угла.

Решение

Начертим данные отрезок PQ и угол hk.

Построение

1) Проведем прямую, отметим на ней точку В и отложим отрезок ВС, равный PQ.

2) Отложим от луча ВD, являющегося продолжением луча ВС, угол DВМ, равный углу hk.

3) Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную к прямой ВМ, и обозначим буквой А точку пересечения этой прямой с лучом ВМ. Треугольник АВС искомый.

Доказательство
(устно)

По построению треугольник АВС – прямоугольный, гипотенуза ВС равна данному отрезку РQ и внешний угол АВD треугольника равен данному углу hk. Таким образом, построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Указание: задача имеет решение только в том случае, когда данный угол hk тупой. Желательно, чтобы учащиеся сами обосновали справедливость этого утверждения.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторить пункты 34–38; решить задачи №№ 307, 314 (а), 315 (а).

Урок 61
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 «ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК»

Цели: проверить знания учащихся и их умение решать задачи; выяснить пробелы в знаниях учащихся с тем, чтобы их ликвидировать на уроках повторения.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы по двум вариантам.

II. Выполнение учащимися работы.

Вариант I

1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОK = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN.

2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дополнительное задание.

С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°.

Вариант II

1. В прямоугольном треугольнике DСЕ с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DЕ.

2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

Дополнительное задание.

С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105°.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 1–14 на с. 5–29 учебника.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

На четырех уроках, которые отводятся на решение задач и повторение всего учебного материала курса геометрии VII класса, полезно сконцентрировать внимание учащихся на следующих узловых вопросах курса:

1. Измерение отрезков и углов; перпендикулярные прямые (1 час).

2. Треугольники: признаки равенства треугольников; равнобедренные треугольники, сумма углов треугольника, соотношения между сторонами и углами треугольника, прямоугольные треугольники (2 часа).

3. Параллельные прямые. Решение задач (1 час).

На уроках повторения следует систематизировать сведения об основных свойствах геометрических фигур, повторить доказательства отдельных наиболее важных теорем. При этом могут быть использованы заранее подготовленные карточки для устного опроса, составленные по материалу каждой главы.

Целесообразно не менее половины каждого урока отводить на решение задач. Рекомендуется использовать следующие задачи учебника: 33, 36, 61, 65, 70, 82, 83, 156, 162, 170, 172, 193, 204, 208, 244, 259, 269, 286, 291, 294.

Отдельным ученикам, которые проявляют особый интерес к изучению геометрии, можно предложить некоторые из задач повышенной трудности (задачи №№ 322–362).