Практическая работа по теории вероятностей по теме: "Показательный закон распределения случайной величины. Решение задач" СПО 2 курс

Дисциплина – «Теория вероятностей»

Курс -3

Занятие - 36

Методические указания

Цель:

1. закрепление знаний о непрерывных случайных величинах,

2. формирование умений составлять функции распределения вероятностей и функции плотности вероятностей НСВ, распределенной по показательному закону,

3. формирование умений вычислять вероятности по экспоненциальному закону,

4. формирование ОК 2,3,4,6,7, ПК 1.1

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы.

Теоретический материал и методические указания

1. Показательное распределение

2. Плотность распределения показательно распределенной величины

3. Функция распределения показательно распределенной величины

4. Числовые характеристики показательно распределенной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

5. Решения типовых задач по теме

Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону с параметром Если ее плотность распределения вероятностей задается формулой:

(1)

Функция распределения показательного закона:

               (2)

 Пример 1. Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина Х, имеющая показательное распределение с параметром = 5 (физический смысл величины - среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время х. Найти при этих условиях плотность и функцию распределения времени, которое проработает ЭВМ после момента х до ближайшего отказа.

Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от х до х + х₀ не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента х. Следовательно, подставив = 5 в формулы (1) и в (2), получим:

.

 .

Вероятность попадания в интервал случайной величины X, распределенной по показательному закону   .

 Показательным законом надежности  называют функцию надежности, определяемую равенством

                                R(t) = e^-λt ,                                                                       (3)

где λ – интенсивность отказов.

Пример 2. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения  f(t) = 0,1 e^-0,1t при  t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e^-0,1·10 = e^-1 = 0,368.

Дисциплина – «Теория вероятностей»

Курс -3

Занятие - 36

Практическая работа №17

Задача 1. Написать плотность распределения вероятностей и функцию распределения случайной величины X, распределенной по показательному закону, если:

а) параметр ; б) параметр .

Задача 2. Случайная величина X распределена по показательному закону, причем

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал:

а) (0; 1); б) (2; 4).

Задание № 3.  Найти М(Х), D(X), показательного закона распределения случайной величины X заданной функцией распределения:
Найти плотность распределения вероятностей случайной величины X. 

а) параметр ; б) параметр .

Задача 4. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательное распределение , второго - . Найти вероятность того, что за время длительностью 20 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент.

Задача 5. Случайная величина Х – время работы электролампочки имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампочки будет не меньше 900 часов, если среднее время работы лампочки:

а) 800 часов; б) 600 часов.

Задача 6. Вероятность безотказной работы элемента телевизора распределена по показательному закону . Найти вероятность того, что телевизор проработает:

а) 1000 часов; б) 1500 часов.

Задача 7. Длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение
. Найти вероятность того, что за t=24 ч элемент:

а) откажет; б) не откажет.