Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий».

Тема урока: «Практическое применение арифметической и геометрической прогрессий».

Цели урока:

1. Обучающая: Использование задач с практическим содержанием обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, формирование у учащихся умения применять знания по математике в практической деятельности.  Создание моделей и алгоритмов для решения практических задач.

2. Развивающая: На уроке будут рассматриваться задачи, не являющиеся математическими, но которые решаются математическими методами и приемами. Предварение изучения математической теории постановкой задач по изучаемой теме предоставляет хорошие возможности для использования на уроках математики элементов проблемного изучения. Развивать алгоритмическое мышление, познавательные интересы, навыки работы на компьютере.

3. Воспитывающая: Использование задач как средства мотивации знаний, умений и методов создает условия для реализации в процессе введения нового учебного материала связи обучения математике с жизнью, развития межпредметных связей. Определить роль и масштабность циклических алгоритмов в повседневной жизни.

Ход урока.

1. Организационный момент. Деление учащихся по группам (6 групп по 4 человека).

Учитель информатики (на английском языке): Modern conditions dictate the need to study computer science. An ability to see and hear - the first step to wisdom. That's why today we'd like you to become wiser and to enlarge their knowledge of mathematics and computer science.

Ok, write down todays date. The 7th of December, Wednesday.

Theme of the lesson: The practical application of arithmetic and geometric progressions.

Progress is Latin word, it means to go forward, to develop. Roman author Boethius was the first person, who introduced and explained the word “progress” as an infinite sequence of numbers.

Учитель математики: Как вы уже поняли, мы с вами сегодня проведем необычный урок. Математика и информатика – это родственные науки, поэтому сегодня вы будете решать задачи, применяя формулы математики, а также на программном языке и сделаете сравнение результатов. А для того, чтобы вы правильно к задачам применяли формулы математики, мы с вами сейчас их повторим.

1. Проверка домашнего задания (2 ученика у доски записывают решения задач, заданных домой накануне).

2. Повторение теоретического материала.

1. Дайте определение арифметической прогрессии, приведите пример такой прогрессии. (Арифметической прогрессией называется ряд чисел, в котором каждое число, начиная со второго, равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным числом).

Аналогично, дайте определение геометрической прогрессии и приведите пример последовательности, представляющей собой геометрическую прогрессию. (Геометрическая прогрессия - это ряд чисел, каждое из которых получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этого ряда число).

Перед вами на доске представлены формулы для арифметической и геометрической прогрессий. Ваша задача – навести порядок среди них и установить соответствие между формулами (фронтальная работа).

1.Формула п-го члена арифметической прогрессии. (з)

2. d- разность арифметической прогрессии (и)

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии . (б)

4. Формулы суммы n - первых членов арифметической прогрессии .(а и г)

5. Формула n - го члена геометрической прогрессии.(ж)

6. q- знаменатель геометрической прогрессии.(в)

7. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. (д)

8. Формулы суммы n - первых членов геометрической прогрессии. (е)

а). S_n = б). а_n = (а_n-1 + а_n+1): 2

в). q = b_n+1 : b_n г). S_n =

д). b_n² = b_n-1 ∙ b_n+1 е). S_n =

ж). b_n= b₁ · q^n-1 з). а_n= а₁+ d(п-1) и). d= а_n-1 – а_n

4. Онлайн-тестирование учащихся группами (каждая группа работает на своем компьютере, отвечая на вопросы тестов по информатике, правильность ответа сразу определяется, выстраивается рейтинг команд). Портал kahoot.

Каждый учащийся после каждого этапа урока оценивает себя по 5-тибальной системе (приложение1).

Test

1. How many types of loops are there?

a) 4 b)2 C)3 + d) 1

2.Determine type of the cycle following example for i:=20 downto 1 do

a)fixed repetition +

b) pretest

c)posttest

D)case statement

3. In which of cycle the body is not execute if the condition starts out as false?

a) for.. do

b) repeat.. until

C) while… do+

D) case

4. Determine type of cycle following example k:=0.001; while xK do x:=x+2;

a) pretest+

b) fixed repetition

c)posttest

d) case

5. One of the following operators is not a loop in Pascal

a) while..do

b) for … do

c) repeat..until

d) do.. loop+

6. Determine the posttest loop

a) 1

b) 2+

3) 4

4)3

7. Complete the sentence. The while..do loop is called a pretest loop because the…

a) the condition is tested after the body of the loop executes

b) repeats statement until some condition is met

c) none answers not correct

d) the condition is tested before the body of the loop executes

1. Решение задач на прогрессии (каждой группе раздаются задачи, которые они должны решить и записать на постерах, прикрепить магнитом на доску). После того, как задача решена математически, учащиеся приступают к решению этой же задачи на компьютерах, составляя программу на языке Рaskal.

Задача №1. Штангист поднимает штангу весом 45кг. С каждым подходом вес штанги увеличивается на 5 кг. Сколько килограммов общего веса поднимет штангист за 7 подходов?

( Дано: арифметическая прогрессия, a₁ = 45, d = 5, n = 7.

Найти: S₇.

Решение: S_n =

S₇ =

S₇ =

S₇ = 420.

Ответ: за 7 подходов штангист поднимет 420 кг.)

1-задача

Program weightlifter;

Var a,i, s: integer;

Begin

Read(a);

S:=0;

For i:= 1 to 7 do

Begin

S:=s+a; a:=a+5; end;

Writeln(‘total score is ’, s, ‘kgs’);

end.

Задача №2. Прежде распространенные везде косули сохранились лишь местами и их поголовье, которое составляло более миллиона особей, резко сократилось: в 1990 году их оставалось чуть более 15000. Однако благодаря защитным мерам, принятым в отношении этого вида в 2005 году, его численность достигла 60000 особей. Сколько особей пополняло ряды косулей в среднем каждый год?

(Решение: n = 16; a₁ =15000; a₁₆ =60000.

а₁₆ = a₁ + 15d;

60000 = 15000 +15d;

15d = 45000;

d = 3000.

Ответ: 3000 особей).

2-задача

Program task_2;

Var a1, a16,d: real;

Begin

Read (a1,a16);

D:=(a16-a1)/15;

Writeln(‘answer:’, d); end.

Задача №3. Стая птиц летела на юг. За первый день эта стая птиц пролетела 201 км, а за каждый последующий день она пролетала на 2 километра больше, чем в предыдущий. За сколько дней перелётные птицы долетят до места зимовки, если перелётный путь равен 4642 км?

(Дано: (а_n) – арифметическая прогрессия; а₁ = 201, d = 2; S_n = 4620. Найти: n.

Решение: : S_n =

4642 = ;

n² + 200 n – 4642 = 0;

n₁ + n₂ = - 200; n₁ • n₂ = - 4642;

n₁ = 21; n₂ = - 221.

n = - 221 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 21 день уйдёт на перелёт стаи.)

3-задача

Program birds;

Var n,a,s: integer;

Begin

Read(a);

N:=0;

While s

Begin

A:=a+2;

S:=s+a;

N:=n+1; end;

Writeln (n, ‘days’); end.

Задача №4. Обкатывая новую модель автомобиля, испытатель каждый следующий день увеличивал пробег на 20 %. Какое расстояние проедет испытатель за 5-й день, если он начал проезд с 200 км?

(Решение: 20 % от 200 км равны 40 км.

a_n – арифметическая прогрессия, а₁ = 200, d = 40, n = 5

a_n = a₁ + d (n - 1);

a₅ = a₁ + 4 d = 200 + 4 ∙ 40 = 200 + 160 = 360 (км).

Ответ: 360 км.)

4-задача

Program task_4;

Var d: integer;

A1,a5 : real;

Begin

Read(a1,d);

A5:=a1+4*d;

Write(a5:6:0);

end.

Задача № 5: Строя пирамиды для фараонов, египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?

(Решение: Считать ряды будем сверху. Тогда в арифметической прогрессии (a_n) : a₁ = 1, d = 1, n = 60. Ответ: 1830 плит только в одной стене пирамиды.)

5 – задача

Program pyramids;

Var a1, an, d, n: integer;

Sn, all:real;

Begin

Read(a1,d,n);

An:=a1+59*d;

Sn:= n*(a1+an)/2;

All:=4*sn;

Write(‘number of plates=’, sn:4:1, ‘number of all plates=’, all:6:0);

End.

Задача № 6. (Демонстрируется ролик о размножении бактерий).

Известно, что бактерия в питательной среде через каждые полчаса делится на две. Сколько бактерий может образоваться из одной бактерии за 10 часов?

(Решение: Бактерия была одна, следовательно, b₁=1. Она делится на две, значит q = 2, а так как время деления полчаса, то за 10 часов произойдет 20 делений и нам нужно найти b₂₁.

По формуле b_n = b₁ • q ^n-1

b₂₁ = 1• 2²⁰ = 1048576 ≈ 1,05•10⁶.

Ответ: 10,5 • 10⁶ .)

6-задача

Program bakteries;

Var b1,b12,q:real;

Begin

Read(b1);

B21:=b1*exp(ln(2)*20);

Write(‘b21=’, b21);

end.

Дополнительные задачи:

Задача №7. В сберегательный банк внесли вклад в размере 100000 тенге с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит банк вкладчику через 4 года? (ответ дать в тенге).

(Решение: За один год банк выплатит S₁ = b₁ + b₁ q = b₁ • (1+q),

где b₁ - вклад, q - процентная ставка.

За 2 года S₂ = S₁ + S₁ q = S₁ (1 + q), но S₁ = b₁• (1+q), следовательно,

S₂ = b₁•(1+q)².

Тогда за n лет: S_n = b₁• (1+q)ⁿ

Найдем по этой формуле S₄: S₄ = b₁•(1+q)⁴

100000•(1+2% : 100%)⁴ = 100000 • 1,02 4 = 108243,2

10824 тенге 32 тиына.

Ответ: 108243,2 тенге).

7 задача .

Program deposit;

Var Vkl,total, v: real;

I:integer;

Begin

Read(vkl);

Total:=vkl;

For I:=1 to 4 do

V:=v+0.02*vkl;

Begin

Total:= total+ Vkl; end;

Write(‘total’, total:6:1, ‘tg’); end.

Задача № 8. Два товарища поспорили о том, что река должна покрыться льдом не ранее 20 декабря. Они условились, что если река покроется ледяным покровом раньше, то первый из них платит, а если позже, то получает за первый день 1 тенге, а за каждый последующий день в 1,5 раза больше. Река покрылась льдом 12 декабря. Сколько заплатит первый? (ответ дайте в тенге, округлив до единиц)

(Решение: 1 день - 1 тенге, 2 день - 1•1,5 тенге, 3 день - 1•1,5•1,5 тенге. Получаем геометрическую прогрессию, где b₁ =1; q =1,5.

Соответствие дней и членов геометрической прогрессии следующее:

12 декабря – b₁ , 13 декабря – b₂ ,…, 19 декабря –b₈ . Получилось n = 8.

Применим формулу суммы: S_n = ;

посчитаем S₈ : S₈ = 1•(1,5⁸ – 1) • 2 = 32,17 ≈ 32 (тенге). Ответ: 32 тенге.)

1. Легенда о шахматной доске (о геометрической прогрессии). На слайдах презентации показывается текст легенды и фото, на которых учащиеся инсценировали эту легенду на внеклассном мероприятии.

Автор.

• Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

• Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки (попеременно чёрные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

• Царь приказал позвать изобретателя, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

• Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

Царь:

• — Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал.

• — Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание

• — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Мудрец:

• — Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

Царь:

• — Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

Мудрец:

• — Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32 …

• Царь: — Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости.

• — Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

• — Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью.

Автор:

• Вечером, отходя ко сну, царь осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца и

услышал…

Слуги:

• Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен.

• Математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

• Математики:

• Мы добросовестно исчислили всё количество зёрен, которое желает получить Сета. Число это так велико ...

Царь:

Я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил?

Математики:

• Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажите растопить льды и снега, покрывающие далёкие северные пустыни. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родиться на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

• Автор:

• С изумлением внимал царь словам старца.

Царь:

• - Назови же мне это чудовищное число.

• Старец:

18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615,

о повелитель!

1. Домашнее задание. Решить следующие задачи.

1). У каждого из нас двое родителей, 4 дедушек и бабушек, 8 прадедушек и прабабушек, 16 прапрадедушек и прапрабабушек. Считая три поколения на каждые 100 лет, посчитайте, сколько у вас было предков 3000 лет тому назад. Подумайте, почему полученный вами верный математический ответ нереален.

(Ответ: 2⁹⁰⁰⁰).

1. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день – на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьёт по 40 капель, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?

(Ответ: 2 пузырька).

3) Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту – на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?

(Ответ: 10 минут ).

1. Подведение итогов учащихся по самооцениванию.

2. Рефлексия и обратная связь.

Приложение №1.

Оцени свою работу на уроке: ________________________

Фамилия

сегодня я узнал...

было трудно…

я понял, что…

я научился…

я смог…

было интересно узнать, что…

меня удивило…