Практико-ориентированные задания как часть обязательного экзамена по математике за курс основной школы. Задачи о листах. Задачи о печах.

Практико-ориентированные задания как часть обязательного экзамена по математике за курс основной школы. Задачи о листах. Задачи о печах.

«Обучение само по себе,

вне воспитания, есть бессмыслица,

ничего кроме вреда, не приносящая»

К.Д.Ушинский

Сегодняшняя реальность характеризуется стремительными переменами и непрерывным потоком новой информации. Мы сталкиваемся с новыми социальными и экономическими условиями, новым культурным пространством. Информация одновременно становится ценной и доступной в избытке, теряя свою уникальность. Эти обстоятельства неизбежно отразились и на сфере образования, повлияли на законодательные нормы, образовательные стандарты и методологические подходы. Ключевая идея современной школы заключается в формировании способности к обучению.

Какие же роли отводятся учителю в новых образовательных реалиях? Преподавательская деятельность традиционно считается консервативной профессией, однако сегодня педагоги во многих странах сталкиваются с проблемой старения профессии — средний возраст учителей растет. Таким образом, нынешнее поколение педагогов получило образование в принципиально иных условиях. Возникает закономерный вопрос: каким должен стать современный учитель?

Учитель сочетает научную основу своей деятельности, представленную дидактикой, с творческой составляющей, проявляя себя как создателя образовательного процесса. Эта позиция сформировалась около четырехсот лет назад и остается актуальной даже в эпоху быстрых преобразований. Поиск ответа привел меня к выводу, что роль современного преподавателя заключается в интеграции науки и искусства дидактики. Учитель выступает инженером образовательного пространства, занимаясь проектированием, моделированием и достижением практических результатов.

Фундамент современных стандартов образования — компетентностный подход, тогда как традиционный знаниевый подход постепенно утрачивает приоритет. Важнейший принцип компетенций — ориентация на практику. Несмотря на разнообразие определений термина «компетенция», наиболее емкое и точное принадлежит Александру Григорьевичу Асмолову: «Компетенция — это применение знаний на практике».

Деятельностные задания позволяют изменить характер самой учебной деятельности ученика, способствуя личностному росту ребенка в ходе их выполнения. Хотя подобная концепция долгое время применялась преимущественно в высшем образовании, особенно в области математики, теперь она активно внедряется и в школьную систему среднего образования. Однако число учебных пособий, содержащих подобные задания, пока ограничено, что открывает широкие перспективы для дальнейшего развития.

Каждый вариант ОГЭ по математике (9 класс) состоит из 25 заданий, первые пять из которых – практико-ориентированные задачи, которые соединены единым смыслом.

Вариант ОГЭ состоит из 25 заданий, из которых 19 – с кратким ответом (первая часть), 6 – с развернутым ответом (вторая часть). Задания первой части оцениваются по 1 баллу, а второй – двумя баллами при соблюдении критериев. Шкала оценивания:

0–7 баллов – оценка «2»;

8–14 баллов, из которых не менее двух баллов по геометрии, – оценка «3»;

15–21 балл, из которых не менее двух баллов по геометрии, – оценка «4»;

22–31 балла, из которых не менее двух баллов по геометрии, – оценка «5».

За правильно выполненные практико-ориентированных задания обучающийся может получить 5 баллов, причем для получения оценки «3» это составляет 62% нижней грани.

Цель Практико-ориентированных заданий – это организация деятельности обучающихся.

1. Практико-ориентированные задания являются деятельностными. Обучающиеся оказываются в самой главной жизненной ситуации – множество мнений, нужно сделать выбор верного решения, а потом объяснить и обосновать правильность решения.

2. Практико-ориентированные задания строятся на актуальном материале.

3. Практико-ориентированные задания требуют применения общеучебных умений. Это базис, без которого нет урока.

Какова структура этого практико-ориентированного задания?

1. Введение в проблему.

2. Формулировка задания:

- текст должен начинаться с глагола (Построить, создать, заполнить и т.д.)

- в тексте задания указано что делать и есть указание как делать.

1. Информация, необходимая для решения данной задачи.

2. Форма предъявления результатов. (График, таблица и т.д.)

Ключевыми компетенциями, которые мы должны создать у школьников являются:

1. Компетенция разрешения проблем.

2. Коммуникативная.

3. Информационная.

4. Познавательная и предметная значимость получаемого результата.

ВАЖНО! При выполнении таких заданий необходимо внимательно читать условие, не упустить важные факты и суть поставленного вопроса.

Для успешного решения таких заданий необходимы следующие умения:

- выделять ключевые фразы и основные вопросы из текста задания.

- уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, выполнять возведение числа в степень, извлекать арифметический квадратный корень из числа;

- уметь переводить единицы измерения;

- уметь округлять числа;

- уметь находить проценты от числа и число по его процентам;

- уметь находить часть числа и число по его части;

- применять основное свойство пропорции;

- уметь решать уравнения и неравенства;

- разбираться в рисунках, масштабе фигур на рисунках и планов;

- анализировать и применять информацию из таблиц;

- анализировать и применять сведения из графиков.

Кроме этого необходимы знания следующих формул геометрии:

- Периметр прямоугольника Р=2*(а+в), квадрата Р=4а;

- Площадь прямоугольника S=ав, квадрата S=а²;

- Площадь круга S= R², длины окружности С=2 R;

- объема прямоугольного параллелепипеда V=авс;

- теоремы Пифагора и понятия тригонометрических функций синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Среди практико-ориентированных заданий встречаются задания:

- о домохозяйстве (комната или дом, огород, схема дорог);

- анализ графиков и таблиц (ОСАГО, провайдеры);

- круг и окружность (теплицы, печь, метро, шины);

- остальные задачи (листы А4, террасы и т.д.)

Задачи о листах бумаги

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2. И так далее. Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа. На практике размеры листа округляются до целого числа миллиметров.

Рассмотрим таблицу форматов листов бумаги

Лайфхак: рекомендую детям запомнить размеры листа А0: 841мм х 1189мм и листа А4: 210мм х 297мм, причем у большего листа А3 ширина будет равной длине А4, т.е. 297мм, а длина в 2 раза больше, т.е. 210*2=420(мм).

Задание 1.1.

В таблице даны размеры листов бумаги четырех форматов: от А3 до А6.

Определить какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице

Решение:

Чем больше цифра формата, тем меньше длина листа.

Поэтому расположим длины листов в порядке убывания:

Ответ: 3412.

Задание 1.2.

В таблице даны размеры листов бумаги четырех форматов А0, А2, А3 и А5.

Определить какими порядковыми номерами обозначены их размеры в таблице

Решение:

Чем больше цифра формата, тем меньше длина листа.

Поэтому расположим длины листов в порядке убывания:

Ответ: 3241.

Задание 2.1.

Сколько листов бумаги А6 получится при разрезании одного листа бумаги формата А0?

Решение:

При разрезании листа А0 получается два листа А1, а при разрезании А1 – два листа А2 и т.д.

Лайфхак: Определим разность большего числового номера и меньшего, а затем число 2 возведем в эту степень.

6-0=6, тогда число листов А6 получится 2⁶=64.

Ответ: 64.

Задание 2.2.

Сколько листов бумаги А5 получится при разрезании одного листа бумаги формата А2?

Решение:

5-2=3, число листов равно 2³=8.

Ответ: 8.

Задание 3.1.

Найти длину меньшей стороны листа бумаги формата А2. Ответ дать в миллиметрах.

Решение:

Рассмотрим размеры листа А4: 210 х 297,

тогда лист А3 имеет размеры: 297 х 420,

а лист А2: 420 х 594.

Значит, длина меньшей стороны равна 420 мм.

Ответ: 420.

Лайфхак: длина меньшей стороны листа А2 в 2 раза больше меньшей стороны листа А4, а для листа Ах – в 2 раза больше меньшей стороны листа Ах+2.

Задание 3.2.

Найти длину меньшей стороны листа бумаги формата А1. Ответ дать в миллиметрах.

Решение:

Вспомним размеры листа А0: 1189 х 841, тогда длина меньшей стороны А1 равна 1189:2=594(ост.1), а по правилу округления с недостатком имеем 594мм.

Ответ: 594.

Задание 3.3.

Найти длину листа бумаги формата А1. Ответ дать в миллиметрах и округлить до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение:

Эта задача является частью набора задач, в котором в задании 1 есть размеры А2: 420 х 594. Тогда длина А1 равна 420*2=840.

Интересно: На самом деле размеры А1: 594 х 841. Именно поэтому в задании и указано, что результат нужно округлить до ближайшего целого, кратного 10.

Ответ: 840.

Задание 4.1.

Найти площадь листа бумаги формата А5. Ответ дать в квадратных сантиметрах.

Решение:

Лист А4: 210 х 297, тогда лист А5: 148 х 210.

S=148*210=31080 мм²=310,8см².

Лайфхак: площадь листа А0 равна 1 м²=10 000см². Из листа формата А0 получается 2^5-0=32 листа формата А5, значит, площадь одного листа А5 равна

10 000:32=312,5 см².

Ответ: 310,8 или 312,5.

Задание 4.2.

Найти площадь листа бумаги формата А3. Ответ дать в квадратных сантиметрах.

Решение:

1 способ: Лист А4: 210 х 297, тогда лист А3 имеет размеры 297х420.

S=297*420=124 740 мм²=1247,4см².

2 способ: Лист А0 можно разрезать на 2^3-0=8 листов А3, тогда S=10 000см² :8= =1250 см².

Ответ: 1247,4 или 1250.

Задание 5.1.

Найти отношение длины меньшей стороны листа к большей у бумаги формата А2. Ответ дать с точностью до десятых.

Решение:

Размеры листа А2: 420 х 594, значит, отношение меньшей стороны к большей равно .

Лайфхак: отношение длины меньшей стороны листа к большей у бумаги формата А с точностью до десятых равно 0,7; отношение длины большей стороны листа к меньшей у бумаги формата А – 1,4.

Задание 5.2.

Найти отношение длины диагонали листа формата А2 к его меньшей стороне. Ответ дать с точностью до десятых.

Решение:

Размеры листа А2: 420 х 594, для упрощения вычислений округлим длину листа до десятков с избытком 594 . По теореме Пифагора длина диагонали прямоугольника со сторонами 420мм и 600мм равна (мм)

значит, отношение длины диагонали к его меньшей стороне равно .

Лайфхак: отношение длины диагонали к его меньшей стороне у бумаги формата А с точностью до десятых равно 1,7; отношение длины диагонали к его большей стороне у бумаги формата А – 1,2.

Задание 5.3.

Бумагу формата А5 упаковали в пачки по 500 листов. Найти массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв. м равна 80 г.

Решение:

Лист А0 имеет площадь 1м², значит, по условию масса А0 равна 80г. Из листа А0 получается 32 листа формата А5 (задание 4.1).

Обозначим х г – масса пачки бумаги А5.

, тогда х= =1250 (г) – масса пачки бумаги А5.

Ответ: 1250.

Задание 5.4.

Бумагу формата А2 упаковали в пачки по 120 листов. Найти массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв. м равна 180 г.

Решение:

Лист А0 имеет площадь 1м², значит, по условию масса А0 равна 180г. Из листа А0 получается 2^2-0=4 листа формата А2, тогда масса одного листа А2 равна

180г : 4=45 г , а масса 120 листов 45*120=5 400 (г).

Ответ: 5400.

Задание 5.5.

Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен дюйма, т.е. 0,3528 мм. Какого размера должен быть размер шрифта в пунктах, чтобы текст был расположен на листе формата А2 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом размером 15 пунктов, на листе формата А1? Размер шрифта округлите до целого.

Решение:

Листы подобны, значит, отношение шрифтов будет таким же, как и отношение соответствующих линейных размеров, т.е. длины или ширины листов этих рассматриваемых форматов

, то х= (пунктов).

Ответ: 11.

Задание 5.6.

Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А4 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 17 пунктов на листе формата А3? Размер шрифта округляется до целого.

Решение:

, то х= 12(пунктов).

Ответ: 12.

Задачи о печах

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 2,6 м, ширина 2,5 м, высота 2,2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6200 руб.

Задание 1.1.

Установить соответствие между стоимостями и номерами печей.

Заполнить таблицу, в бланк ответов записать последовательность трех цифр без пробелов, запятых и других опознавательных знаков.

Решение:

Ответ:231.

Задание 1.2.

Установите соответствие между массами и номерами печей. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:312.

Задание 1.3.

Установите соответствие между объёмами помещения и номерами печей, для которых данный объём является наибольшим для отопления помещений. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ:132.

Задание 2.1.

Найти площадь потолка парного отделения строящейся бани. Ответ дать в квадратных метрах.

Решение:

S=2,6*2,5=6,5(м²).

Ответ:6,5.

Задание 2.2.

Найти суммарную площадь стен парного отделения строящейся бани (без площади двери). Ответ дать в квадратных метрах.

Решение:

S=Р_осн*высота-S_двери=2*(2,6+2,5)*2,2-0,6*1,8=21,36(м²).

Ответ:21,36.

Задание 2.3.

Найти объем парного отделения строящейся бани. Ответ дать в кубических метрах.

Решение:

V=2,6*2,5*2,2=14,3(м³).

Ответ:14,3.

Задание 3

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объему парного отделения, обойдется дешевле электрической с учетом установки?

Решение:

V=2,6*2,5*2,2=14,3(м³), значит, по объему подходит печь № 2 по цене 20 700рублей.

Установка электрической печи составит 16 500+6 200=22 700 (рублей).

22 700 – 20 700 = 2 000 (рублей) – дешевле дровяная печь электрической печи.

Ответ: 2 000.

Задание 4.1.

В прошлом году печи, указанные в таблице, стоили дороже. На них были сделаны скидки: на печь номер 1 скидка составила 10%, на печь номер 2 – 25%, на печь номер 3 – 20%. Сколько рублей стоила печь номер 2 в прошлом году?

Решение:

1) 100%-25%=75% - составила 20 700 рублей;

2)75% составляет 20 700=20 700 : 0,75=27 600 (рублей) – составляла цена в прошлом году.

Ответ:27 600.

Задание 4.2.

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 15%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение:

Печь массой 48 кг имеет стоимость 20 700 рублей.

1) 100%-15%=85% - новая цена печи;

2)85% от 20 700 =20 700 * 0,85 =17 595 (рублей) – составляла цена со скидкой.

Ответ:17 595.

Задание 5.1.

Хозяин выбрал дровяную печь (рис.1).Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха. Для установки печки хозяину потребовалось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке справа. Найти радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

Найдем радиус закругления арки по теореме Пифагора:

R= 60(см).

Ответ:60.

Задание 5.2.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности (см. рис.). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха показаны на рисунке. Найдите радиус в сантиметрах; ответ округлите до десятых.

Решение:

Алгоритм решения:

1. Провести несколько радиусов, хорду.

2. Найти разницу между длиной радиуса и расстоянием от центра закругления до хорды

3. Применить теорему Пифагора.