Правильные многогранники

Тема: Гармония форм

Цель: выделить некоторые предположения о взаимосвязи геометрии и музыки, а именно о геометрических формах правильных многогранников и формах музыкальных произведений.

Задачи:

Образовательная – ввести понятие правильного многогранника;

- рассмотреть виды правильных многогранников,

- дать понятие о строении музыкальных произведений;

Развивающая – развитие инициативы, работоспособности, самостоятельности, мыслительных способностей учащихся; умения наблюдать и рассуждать по аналогии, интереса к предмету через использование информационных технологий;

Воспитывающая – воспитание потребности в общении с искусством и наукой.

Тип урока: интегрированный (геометрия, музыка)

Методы обучения:

1. По источнику передачи и восприятию информации: словесный метод беседы, наглядный (ИКТ), практический.

2. По степени самостоятельности учащихся: репродуктивный метод, частично – поисковый.

3. По логике подачи материала - дедуктивный.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная и групповая.

Оборудование: компьютер с мультимедийным оборудованием; интерактивная доска Activboard; презентации, музыкальные произведения.

Ход урока:

– Здравствуйте, дорогие друзья, уважаемые гости!

Мы рады приветствовать вас на уроке “Геометрия и музыка”.

-Наверняка, каждый из вас сейчас подумал, какая же связь может быть между математикой - мудрой царицей всех наук, и музыкой?

Как могут взаимодействовать такие совершенно разные человеческие культуры?

Сегодня, на нашем необычном уроке, мы предлагаем вам найти ответ на этот вопрос и доказать, что связь существует.

Для этого лишь нужно задуматься, понять, послушать, а самое главное, захотеть каждому ответить на этот вопрос. Ну, как, подходит вам наша идея?

1. «Вызов»

- Разобраться есть ли точки соприкосновения у геометрии и музыки поможет нам классификация терминов по основаниям «Музыка», «Геометрия». (гармония, звук, тембр, лад, число, красота, ритм, ноты, симметрия, форма, многогранники, площадь, объем, жанр, подобие, пропорция, инструменты, пространство).

Для этого нужно распределить записанные на доске термины по категориям, например «площадь» - это математическое понятие и т. д.

Вывод: Как много, оказывается, этих связующих точек. Даже те понятия, которые однозначно отнесли к музыке, звук, и тембр, и лад, и гармония, подлежат математическому анализу.

Так что станет предметом нашего разговора? - Гармония. Симметрия. Форма.

2. «Осмысление»

Тема урока: Гармония форм

Учитель музыки: Именно благодаря форме произведения приобретают прелестные очертания.

Учитель геометрии: Благодаря форме геометрические тела являются образцом совершенства и красоты, как правильные многогранники.

Название "правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, гранями которого являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» - 12 .

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и часто их называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Работа в группах. Каждой группе выдается карточка с изображением модели и развертки данного многогранника и готовая его бумажная модель, чтобы учащиеся реально могли пощупать, потрогать, посчитать грани, ребра, вершины.

Задание группам: Посчитать число граней, вершин и ребер правильного многогранника.

1 группа- тетраэдр. 2 группа- гексаэдр. 3 группа- икосаэдр. 4 группа- додекаэдр. 5 группа- октаэдр.

Отчет групп о работе.

Один представитель группы отчитывается о результатах, по ходу заполняется таблица.

Учащиеся делают соответствующие записи в тетради.

Анализируя полученные сведения, получают еще одно подтверждение теоремы Эйлера на примерах правильных многогранников о числе граней, ребер и вершин выпуклого многогранника (Г + В) = (Р) +2.

Правильные многогранники – это символы симметрии в геометрии.

В школьном курсе геометрии рассматриваются три вида симметрии:

• Симметрия относительно точки (центральная симметрия);

• Симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия);

• Симметрия относительно плоскости.

Тетраэдр:

• Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

• Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии.

• Плоскость а проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру СD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии.

• Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Гексаэдр:

• Куб имеет один центр симметрии- точку пересечения его диагоналей.

• Куб имеет девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии.

• Три плоскости симметрии куба проходят через середины параллельных ребер, остальные шесть – проходят через противоположные ребра куба.

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Именно симметрия придает пропорциональность и соразмерность форм правильных многогранников.

Учитель музыки: А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза? Учитель геометрии: Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. Кристалл алмаза имеет форму октаэдра. И даже вирусы, которые раньше так и назывались «сферическими» — например, вирус полиомиелита, — и то, как удалось обнаружить, имеют форму икосаэдра. Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Модели многогранников могут использоваться в качестве декоративных украшений. Нельзя не увидеть симметрию в огранённых драгоценных камнях. Это – красота и наслаждение красотой.

Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны.
Платон

Учитель музыки:

- Искусство композитора, подобно искусству ювелира – в том, чтобы создать достойную оправу музыкальному произведению.

- Оказывается, музыкальные произведения тоже могут иметь...форму! Несмотря на присущую музыке «текучесть», в ней большое значение имеет архитектура звуков и момент «строительства» музыкальной формы.

С широкой точки зрения музыкальных форм столько же, сколько и самих произведений. Но в более узком и специальном значении под музыкальной формой имеется в виду строение или структура музыкального произведения. Различают простые и сложные формы.

- Структуры форм похожи на формулы из математики. Например, песня. Если куплет обозначить буквой А, припев буквой Б, записать формулу из трёх припевов и трёх куплетов, то получится АБ АБ АБ - куплетная форма. (не складываем, а записываем порядок отдельных частей)

Трехчастные музыкальные формы, построенные по схеме А-В-А. Состоит из трех разделов, причем третий является повторением первого: первая часть — середина — повторение первой части (музыкальный пример – вальс). Повторение первой части в трёхчастной форме называется репризой.

- Можно назвать эту форму симметричным строением?

Как видно из приведенной схемы, эта форма симметрична, ее правая часть тождественна с левой. Симметрия относительно части В (центральная симметрия);

Принцип симметрии лежит в основе «круговой» формы – рондо. Как видно из схемы, форма рондо представляет собой ряд «сцеплённых» трёхчастных форм. Ряд этот симметричен: он начинается и завершается разделом А (А - главная тема –рефрен, повторяется не менее 3-х раз, чередуясь с различными эпизодами: A B A C A....)

В музыке часто применяется видоизменённое, варьированное повторение, отсюда складывается вариационная форма. Тема каждый раз появляется в новом облике. (муз.пример – Каприс №24)

Трехчастная форма не всегда так проста, как в приведённом выше примере. Когда каждая из её составных частей сложнее периода, тогда она будет называться сложной трёхчастной формой. (муз.пример Увертюра к опере «Кармен»)

Это повторение первой части в трёхчастной форме (репризу) на слух мы воспринимаем несколько по иному, чем первую часть. Как вывод из сопоставления первой части и середины.

- Что станет с трехчастной формой, если исключить репризу или поменять местами очерёдность частей.

–Исчезнет симметрия, равновесие, согласованность частей, логика.

- Верно. В переводе с греческого это слово «симметрия» означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей ». В древности слово «симметрия» употреблялось в значении «гармония», «красота». Отклонение от симметрии воспринимается нами как нарушение естественной красоты, гармонии.

Самая сложная, высшая из всех музыкальных форм - сонатная - в основе своей трехчастна. Ее главные разделы - экспозиция, разработка и реприза - образуют сложную трехчастность - симметричное и логически завершенное построение.

- Мы познакомились с самыми простыми формами музыкальных произведений,

которые послушно следовали закону симметрии, как фундаменту красоты и гармонии.

Принцип симметрии имеет большое значение в искусстве, который был заимствован у самой природы. В природе симметрия — постоянное явление: симметрично тело человека и животных, симметрично строение цветка и листа. Симметрия лежит в основе многих произведений архитектуры, в особенности классической, где правая часть здания обычно уравновешивает левую. Симметрична Триумфальная арка на Кутузовском проспекте в Москве или здание Большого театра, где ось симметрии отмечена фигурой Аполлона, правящего четверкой коней.

Работа в группах (2 минуты):

Из всего выше сказанного и увиденного перечислите слагаемые гармонии музыкальных и геометрических форм (пропорция, симметрия, периодичность, красота, соразмерность, логика, совершенство).

Согласно определению М.И.Глинки понятие «музыкальная форма» «…значит красота, т.е. соразмерность частей для составления стройного целого.

«...быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.» Платон

1. «рефлексия»

Учитель геометрии: Какая польза от знаний структур форм музыкальных произведений?

Учитель музыки: Изучив определенные законы построения форм, и зная, слагаемые красоты и гармонии, можно попробовать составить свой художественный шедевр в форме «синквейн».

Предлагаем сделать это каждой группе на тему «Гармония форм».(5-7 минут).

Выступление спикеров.

Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле, точно также как и формально сочинять стихи. (Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять из себя какую-либо художественную ценность)

Встречается в музыке и так называемая свободная форма при сочинении всевозможных фантазий и попурри на заимствованные темы.

Выступление группы учащихся:

Песня о форме. Предлагаю поддаться хорошему влиянию песни:

Один парнишка искал работу,

Но привередлив был слишком что-то.

Хотел не просто он быть при деле,

Но чтобы в форму его одели.

Я, говорит он, красив и статен.

Должно соответствовать стати и платье.

Пусть футболистом в трусах и майке

Или лесничим в простой фуфайке.

Год выбирал он пока, ребята,

Его не вызвали служить солдатом.

- Вот держи форму, держи фуражку,

Два сапога, ремень и пряжку.

- Вот тебе каска, ружьё и фляжка,

Портянки, китель и тельняшка.

И целый год никаких напевов.

Марши по плацу. Ать- два, левой!

А если выбрал быть музыкантом,

Формы менял бы часто.

Только не думай, словно невежда.

В музыке форма – не то, что одежда.

У музыкальных произведений

Форма скорее подобна схеме:

Есть серенада, есть увертюра,

Есть баркаролы и ноктюрны.

И мадригал есть и соната.

Токката, фуга и кантата.

Хорал, симфония, экспромт

Весёлый джаз и рок-н-ролл.

Есть месса серенада и квартет

Фантазия, сюита и дуэт

Адажио, изящный менуэт.

И в безусловной форме рэп.

Учитель геометрии: Однажды Оскар Уайльд, рассуждая о единстве искусств, заметил, что все они несут в себе нечто общее и говорят на одном языке, хотя и разными голосами. Но разве не справедливы эти слова по отношению к нашему уроку.

Учитель музыки: Ребята, конечно же, мы могли найти еще много доказательств взаимодействия музыки и математики. И мы теперь с уверенностью, можем об этом заявить и отстоять свою точку зрения!

Учитель геометрии: Но вы помните, что таких точек было обнаружено множество. Пусть они станут предметом будущих наших встреч.

Учитель музыки: Тогда скажем друг другу “спасибо” и дружите с музыкой и с геометрией.

Домашнее задание по геометрии: сделать бумажную модель правильного многогранника.

Гармония форм

Разнообразная, прекрасная.

Удивляет, радует, успокаивает.

Гармония – составляющая часть красоты.

Идиллия.

Гармония форм

Совершенная, вечная.

Уравновешивает, располагает, восхищает.

Помогает понять прекрасное и высокое.

Симметрия.

Гармония форм

Божественная, величественная.

Изображает, измеряет, пробуждает.

Связывает прекрасное с повседневным.

Жизнь.

Гармония форм

Бриллиантовая, идеальная.

Покоряет, радует, воплощает.

Без гармонии форм нет окружающей красоты.

Великолепие.

Гармония форм

Мелодичная, душевная.

Привлекает, завораживает, восхищает.

Нарушая гармонию форм, исчезает красота.

Величие.

6