Правила дифференцирования.

Правила дифференцирования.

Определим правила, по которым можно находить производные суммы (или разности), произведения и частного.

Пусть и определены и непрерывны на всей своей области определения. Найдём производную суммы этих двух функций: .

По определению производной,

Аналогично выводится формула для нахождения производной разности.

Значит,

• Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

Теперь найдём производную произведения двух функции

Значит,

• Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс производная второй функции, умноженная на первую.

Найдём теперь производную частного двух функций

Значит,

• Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой – разность произведения производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а в знаменателе – квадрат знаменателя.

Приведём примеры.

;

Рассмотрим случай, когда функция является сложной.

Определение. Если , а , то называется сложной функцией с промежуточным аргументом и независимым аргументом . Здесь называют внутренней функцией, а – внешней функцией.

Например, сложной является функция . В ней – внешняя функция, – внутренняя функция.

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

Например, . Мы сначала взяли производную степени, а затем умножили её на производную основания степени.

1. Найти производную функции:

   	;

2. Найти значение производной в точке :

3. Вычислите скорость изменения функции в точке :

4. При каких значениях выполняется равенство , если известно, что

?

1. При каких значениях выполняется равенство , если известно, что

?

1. Решить неравенство если:

2. Решить уравнение , если:

3. При каких значениях аргумента скорость изменения функции равна скорости изменения функции :

4. При каких значениях аргумента скорость изменения функции больше скорости изменения функции , если: ?

5. Зависимость расстояния от времени движущейся точки такова: . Докажите, что её скорость не превосходит

6. Зависимость расстояния от времени движущейся точки такова: . Докажите, что её скорость не превосходит

7. Найдите производную функции , если .

8. Найдите производную функции , если .

9. При каких значениях производная функции отрицательна?

10. При каких значениях производная функции отрицательна?

11. Сила тока изменяется в зависимости от времени по закону , где – сила тока в амперах, – время в секундах. Найти скорость изменения силы тока в конце указанной секунды, если:

12. Найти производную функции:

13. Найти значение производной функции в точке :

14. Найти значение выражения:

1. , где

2. , где

1. Решить данные уравнения и неравенства:

1. , где

2. , где

3. , где

4. , где

5. , где

3