Правильный додекаэдр - текст

1. Правильный додекаэдр

2. Что такое правильный додекаэдр?

• Правильный додекаэдр (от др.-греч. — «двенадцать» и — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников.

• Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

• Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

1. Общие понятия о фигуре

• Додекаэдр – это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает "фигура с 12-ю гранями". Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

1. Геометрические свойства правильного додекаэдра

• Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г – количество граней, В – вершин, Р – ребер. Зная, что правильный додекаэдр – это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В - 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 градусов.

1. Симметрия правильного додекаэдра

• Как видно из рисунка выше, додекаэдр – это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

• Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

• Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

1. 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72o), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;

2. 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180o), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;

3. 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;

4. 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120o), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

1. История

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.

1. Современное использование додекаэдра

• В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр – это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

1. История

• Источники звука.

• Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

1. История
   Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

• Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях.

1. История

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

1. История

Вскоре после появления кубика Рубика, в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — мегаминкс. Как и у классического кубика Рубика, к каждому ребру у неё прилегает по три детали. Позднее, как и для кубика Рубика появились такие додекаэдрические головоломки с четырьмя деталями при ребре (гигаминкс), пятью (тераминкс) и т.д. Сложность и время сборки их, как и для кубика Рубика возрастает по мере увеличения числа деталей при ребре.

1. Свойства

• Все 20 вершин додекаэдра лежат по 5 в 4-х параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.

• Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра ≈ 116,565°.

• Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол ≈ 2,9617 стерадиана.

• В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

• Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Звездный тетраэдр

Тетраэдры мы разбирали серьёзно,

И всем нам было важно знать:

Что есть вершина, грань и рёбра?

И почему нам не понять

Их деятельность?...

А там, внутри тетраэдров этих,

Кипела жизнь и связи шли.

Там аттракторно хаотично

Процессы сложные вели

К созданию новых кармонаций.

Ну и Бог весть ещё к чему!

Но мы решили разобраться,

Куда, зачем и почему?

И честно стали в том копаться,

Пока наш Ум не стал шататься,

Сознанье стало колебаться

И динамично расслаблялся,

В картинках-образах вращаться.

И мы решили после споров,

Что мы, конечно же поймём,

Сию структуру, всё ж освоим,

Когда немного подрастем

И к Форма-Плазме перейдем )))