Предел функции. Лекция для студентов техникумов

Пример предела функции:

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела  .
2) Записи под значком предела, в данном случае  . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно  , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае  .

Сама запись   читается так: «предел функции   при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала  , затем  ,  , …,  , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое  ? Это тот случай, когда   неограниченно возрастает, то есть: сначала  , потом  , потом  , затем   и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией  ?
,  ,  , …

Итак: если  , то функция   стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию    бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать   до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при   функция    неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , 
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если  , попробуйте построить последовательность   ,  ,  . Если  , то   ,  ,  .