Предикаттар, предикаттар менен болгон амалдар.

ЖОЖдун аталышы: БатМУ КГПИ

Кафедра: ФМИТ

Предмет: Математикалык логика

Адистиктери: Кыргыз тили, англис тили, тарых денен тарбия, башталгыч билим берүү

Лекция №: 7

Тема: Предикат, предикаттар менен болгон амалдар.

Саат: 2

Окутуучу: Назаева К.М.

Лекциянын максаты:

Студенттерге предикат түшүнүгүн, анын аныкталуу областын, предикаттардын түрлөрүн, ошондой эле предикаттар менен болгон логикалык амалдарды түшүндүрүү, предикаттык логиканын негиздери жөнүндө билим берүү жана аларды логикалык ой жүгүртүүгө үйрөтүү.

Лекциянын милдеттери:

 Предикат түшүнүгүн жана анын өзгөчөлүктөрүн түшүндүрүү.

 Предикаттын аныкталуу областын аныктоону үйрөтүү.

 Предикаттар менен болгон логикалык амалдарды (тануу, конъюнкция, дизъюнкция, импликация) карап чыгуу.

 Предикаттык формулаларды түзүүгө мисалдар келтирүү.

Лекциянын планы

1. Предикат түшүнүгү

2. Предикаттын аныкталуу областы

3. Предикаттардын түрлөрү

4. Предикаттар менен болгон логикалык амалдар

5. Предикаттык формулалар жана мисалдар

Математикалык логикада предикат – бул өзгөрмө камтыган билдирүү болуп, өзгөрмөнүн маанисине жараша чын же жалган мааниге ээ болот. Башкача айтканда, предикат – бул өзгөрмөгө көз каранды логикалык билдирүү.

Предикаттар көбүнчө төмөнкүдөй белгиленет: P(x), Q(x), R(x,y).

Мисалдар:

• P(x): x 5

• Q(x): x – жуп сан

• R(x,y): x + y = 10

Предикаттын аныкталуу областы – бул өзгөрмө ала турган бардык мүмкүн болгон маанилердин жыйындысы. Бул жыйынты домен деп да аталат.

Мисал: P(x): x 3. Эгер x бүтүн сандар болсо, анда предикат бүтүн сандар жыйындысында аныкталат.

Предикаттар өзгөрмөлөрдүн санына жараша бөлүнөт:

1. Бир орундуу предикат: Бир өзгөрмөдөн турат. P(x): x 0

2. Эки орундуу предикат: Эки өзгөрмөдөн турат. R(x,y): x + y = 10

3. Көп орундуу предикат: Үч же андан көп өзгөрмөдөн турат. P(x,y,z): x + y + z = 15

Предикаты жай сүйлөм, формулалар жана маанилердин таблицасынын жардамында берүүгө болот. Мисалы, 1) А(х):= “бир орундуу x натуралдык саны 6 санынан кичине”; 2) А(х)=

1. Тануу (¬P) – билдирүүнүн тескерисин билдирет.

Мисал: P(x): x 5 болсо, анда ¬P(x): x ≤ 5.

2. Конъюнкция (P ∧ Q) – эки билдирүү тең чын болгондо гана чын.

Мисал: P(x): x 3, Q(x): x

3. Дизъюнкция (P ∨ Q) – билдирүүлөрдүн жок дегенде бири чын болсо чын.

Мисал: P(x): x 10.

4. Импликация (P → Q) – эгер P чын болсо, анда Q да чын болушу керек.

5. Эквиваленттүүлүк (P ↔ Q) – эки билдирүү бирдей мааниге ээ болгондо чын болот.

Предикаттык логика — математикалык логиканын маанилүү бөлүгү. Ал төмөнкү түшүнүктөрдү камтыйт:

• предикат түшүнүгү

• аныкталуу областы

• логикалык амалдар

• кванторлор

Предикаттар математикада, информатикада жана алгоритмдер теориясында кеңири колдонулат.

1. Предикат деген эмне?

2. Предикат менен жөнөкөй билдирүүнүн айырмасы эмнеде?

3. Предикаттын аныкталуу областы деген эмне?

4. Бир орундуу жана эки орундуу предикаттарга мисал келтириңиз.

5. Конъюнкция деген эмне?

6. Дизъюнкция деген эмне?

7. Импликация эмнени билдирет?

8. Жалпы квантор кандай белгиленет?

9. Бар болуу квантору эмнени билдирет?

10. Предикаттык формулалар кайда колдонулат?

Математикада бир же бир нече өзгөрүлмөлөрдөн көз каранды болгон сүйлөмдөр көбүрөөк кездешет. Мисалы, А: “|x|=x” – айтуу боло албайт, себеби аны чын же жалган деп айта албайбыз, ал маани х тин конкретүү маанисинен көз каранды. Эгерде х0 болсо, анда А: “|x|=x” – айтуу болот, себеби ал чын; эгерде х» сүйлөмү. 1-аныктама. Өзгөрүлмөлөрүнүн кабыл алууга мүмкүн болгон бардык маанилеринде чын же жалган деген маанилерге ээ боло ала турган өзгөрүлмөлөрү бар жай сүйлөмдү предикат деп атайбыз. Предикаттар өзгөрүлмөлөрүнүн санына жараша нөл орундуу (айтуу), бир орундуу, эки орундуу, үч орундуу ж.б. болуп бөлүнүшөт. Жогорудагы 5- мисал нөл орундуу, анткени ал айтуу болот; 1-, 2- жана 4- мисалдар бир орундуу, анткени аларда бирден гана өзгөрүлмө бар жана көрсөтүлгөн тиешелүү аймактардан конкреттүү маанилерди берип айтууларга ээ болобуз; 3- мисал үч орундуу. Эгерде 1-, 2-, 3- жана 4- мисалдардагы сүйлөмдөрдү тиешелүү түрдө p(x), q(x), f(x,y,z), s(x) деп белгилесек, анда p(1)0, p(-i)1; каалаган чыныгы х тер үчүн q(х)1 – чын; f(4,8,2)1, f(3,11,4)0; s(0)1, s(2)0, s(1)1 болот. Мындан ары x,y,…,z өзгөрүлмөлөрү бар предикаттарды p(x,y,…,z), q(x,y,…,z), ж.б. деп белгилейбиз. Функция түшүнүгүн колдонуп, предикат түшүнүгүнө төмөнкүдөй аныктама берсе да болот: 2-аныктама. Маанилер аймагы 0 (жалган) жана 1 (чын) болгон функция предикат деп аталат. Эгерде функция бир өзгөрүлмөлүү болсо, анда предикат бир орундуу болот; а эгерде функция n өзгөрүлмөлүү болсо, анда предикат n орундуу болот. Предикаты жай сүйлөм, формулалар жана маанилердин таблицасынын жардамында берүүгө болот. Мисалы, 1) А(х):= “бир орундуу x натуралдык саны 6 санынан кичине”; 2) А(х)=(x маанилеринин жыйындысын предикаттын чындык аймагы деп атайбыз жана Ip деп белгилейбиз. Жогорудагы 1- мисалда p(x) предикаттын чындык аймагы болуп Ip={±i} болот; 3- мисалда f(x,y,z) предикаттын чындык аймагы If={, z0} көрүнүшүндөгү үчтүктөр болот; 4- мисалда s(x) предикаттын чындык аймагы Is={0,1} болот. Предикаттын чындык аймагы каралып жаткан маселеден аныкталат, көпчүлүк учурда ал салыштырмалуу түшүнүк болуп эсептелет. Мисалы, жогорудагы 1- мисалдагы p(x), хR десек, анда анын чындык аймагы бош көптүк болот, б.а. Ip=. 5-аныктама. Эгерде p(x,y,…,z) предикаты өзгөрүлмөлөрүнүн мүмкүн болгон бардык маанилеринде чын деген маанини кабыл алса, анда аны теңдеш чын предикат деп атайбыз. Мисалы, p(x)=(sin2 x+cos2 x=1), xR. 6-аныктама. Эгерде p(x,y,…,z) предикаты өзгөрүлмөлөрүнүн мүмкүн болгон бардык маанилеринде жалган деген маанини кабыл алса, анда p(x,y,…,z) предикаты теңдеш жалган предикат деп атайбыз. Мисалы, p(x)=(x 2+y 2= –1), x, yR. 7-аныктама. Эгерде p(x,y,…,z) предикаты өзгөрүлмөлөрүнүн жок дегенде бир маанисинде чын деген маанини кабыл алса, анда ал предикатты аткарылуучу деп атайбыз. Мисалы, p(x)=(x+y=2), 0