Презентация Элементы комбинаторики преподаватель математики-информатики Пантюхина Е.А.

Преподаватель математики-информатики Пантюхина Е.А.

Историческая справка

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina re », что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Комбинаторика.

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Как всё начиналось…

• Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
• Первоначально комбинаторика возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр.

известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц.

(1.07.1646 - 14.11.1716)

Замечательно, что наука, которая произошла с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. Лаплас

• учебные заведения (составление расписаний);

• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв).

• география (раскраска карт);

• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками);

• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими);

• агротехника (эффективное размещение посевов на нескольких полях);

• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

• химия (анализ возможных связей между химическими элементами);

• биология (расшифровка кода ДНК);

• военное дело (расположение подразделений);

• криптография (разработка методов шифрования)

Перестановки

Размещения

Сочетания

Сочетания

Перестановки

Размещения

Задача:

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 7, 4, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Ответ: 6 чисел.

Задача:

Сколько цветовых комбинаций можно составить из шаров красного, зеленого, желтого, синего и оранжевого цветов?

Ответ: 120 комбинаций.

Факториал.

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n . Обозначение n !

Таблица факториалов:

n

0

n!

1

1

2

1

3

2

4

6

5

24

6

120

7

720

5 040

8

9

40 320

10

362 880

3 628 800

Перестановки.

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

P n = n!

Задача. К кассе зоопарка одновременно подошли 5 человек. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Задача:

Сколькими способами можно расставить на полке семь книг?

Задача с сюрпризом:

Сколькими способами можно расположить три пуговицы в восьми коробочках?

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из n элементов.

СОЧЕТАНИЯ

Задача:

Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Задача:

Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.

Сколькими способами это можно сделать?

Надо выбрать двух человек из 20.

Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть

Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна

и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

Задача с сюрпризом:

Сколькими способами можно расположить цифры 2, 4, 5, 6, 9, чтобы получить разные трёхзначные числа?

Размещением из n элементов по k называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке

из данных n элементов .

РАЗМЕЩЕНИЯ

Задача. Студенты группы изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Существенные признаки понятия

Перестановки

Размещения

• Задано некоторое множество из n элементов.
• Составляется последовательность из всех элементов этого множества.
• Эта последовательность содержит n элементов.

Сочетания

• Задано некоторое множество из n элементов.
• Выделена последовательность элементов из этого множества.
• Эта последовательность содержит m элементов.
• Эти элементы различны.

• Заданы два множества.
• Одно из множеств является подмножеством другого.
• Основное множество содержит n элементов.
• Подмножество содержит m элементов.

отгадай ребусы

1.

2.

отгадай ребусы

3 .

4.

5.

Домашнее задание:

Решить задачи:

• В корзине лежат 8 синих носков, 6 зеленых. Сколькими способами можно вынуть разноцветную пару носков?
• Сколькими способами можно расположить 6 книг на полке?
• Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр (цифра – это последовательность от 1 до 9)?

Спасибо за внимание!