Презентация "Функции"

Функции

Определение . Закон (правило) по которому каждому значению х из множества D ставится в соответствие одно определенное значение у , называется функцией , заданной на множестве D .

х – независимая переменная или аргумент ;

у – зависимая переменная или функция от х ;

D – область определения функции .

D = (- ∞; 0),

х – независимая переменная, у - зависимая переменная .

Пример

Найти значение функции у = (-7х + 3) : 2

с областью определения D = [1; 3]

при х , равном 2 и 3 .

Решение.

При х 1 = 2 у 1 = (-7 ∙2 + 3) : 2 = -5,5;

при х 2 = 3 у 2 = (-7 ∙3 + 3) : 2 = -9.

Задание функции

Задать функцию – это значит указать ее область определения D и закон (правило) по которому для каждого значения аргумента х из множества D определяется одно значение функции у.

Основные способы задания функции

• С помощью формулы или формул, т. е. аналитически.
• Таблицей.
• Графиком.

Задание функции формулой

Основной способ задания функции – формула , левая часть которой – зависимая переменная, а правая – выражение с независимой переменной.

у = 2х + 5; у =

Множество значений функции

Определение . Множество всех значений, которые может принимать функция, называется множеством значений функции .

Определение . Наименьшее число из множества значений функции называется наименьшим значением функции , а наибольшее число из этого множества – наибольшим значением функции .

Задание функции таблицей

х

-1

у

0

2

1

3

2

9

3

15

17

4

5

21

6

30

37

Область определения D функции образуют числа, стоящие в первой строке таблицы.

Множество значений функции –

числа, стоящие во второй строке.

Наибольшее значение

функции равно 37,

Наименьшее значение

функции равно 2,

функция принимает

его в точке 6.

функция принимает

его в точке -1.

График функции

Определение . Графиком функции называется множество точек М(х; у) на координатной плоскости, где х принимает значения из области определения, а у – соответствующее им значения функции.

у

4

, D = [2; 6].

3

х

у

2

3

4

5

6

2

1

О 1 2 3 4 5 6 х

График функции

О точке М(х; у) , принадлежащей графику функции ( D = [2; 6] ) , говорят, что ее координаты удовлетворяют уравнению .

у

4

М(х; у)

3

2

1

О 1 2 3 4 5 6 х

Задание функции графиком

Основное свойство графика функции : на графике функции нет двух различных точек с одной и той же абсциссой (прямая, параллельная оси ординат, пересекает график функции не более чем в одной точке).

Не является графиком функции График функции

у

у

М(х; у)

P( 3 ; y 1 )

3

у

у 1

2

у 2

О x х

Q( 3 ; y 2 )

1

-1 О 1 2 3 4 х

Нули функции

Определение . Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное 0, называются нулями функции .

• Определение . Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное 0, называются нулями функции .

Функция у = х 2 – 4

с областью определения

D = [-3; 1] имеет

единственный нуль –

число -2 .

А функция у = х 2 – 4

с областью определения

D = [-3; 3 ] имеет

два нуля - числа -2 и 2 .

у

3

2

1

-3 -1 О 1 х

-4

Нули функции

Найдем нули функции у = х 3 – 9х на множестве D 1 = (- ∞; 1]; D 2 = [-2 ; +∞); D 3 = R ; D 4 = (3 ; 20].

Подставим у = 0 в формулу и найдем корни уравнения:

х 3 – 9х = 0 ;

х(х – 3)(х + 3) = 0 ;

х = 0 или х = 3 или х = -3 .

Ответ. На D 1 = (- ∞; 1] нули функции 0 и -3 ;

на D 2 = [-2 ; +∞) нули функции 0 и 3 ;

на D 3 = R нули функции 0 , 3 и -3 ;

на D 4 = (3 ; 20] нулей функции нет .

Промежутки знакопостоянства функции

Определение. Промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства для данной функции

на множестве D = [-7; 7] :

на [-7; -6), (-4; 3) и (6 ; 7] –

значения функции

положительны;

на (-6; -4) и (3; 6) -

значения функции

отрицательны.

у

1

О 1 3 6 х

-6 -4

х 1 , следует у 2 у 1 . у у 2 1 x 1 О 1 x 2 2 3 х -1 у 1 x 2 x 1 y 2 y 1 " width="640"

Возрастание функции на промежутке

Определение . Функция называется возрастающей на некотором промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. для любых х 1 и х 2 , принадлежащих промежутку, из того, что х 2 х 1 , следует у 2 у 1 .

у

у 2

1

x 1 О 1 x 2 2 3 х

-1

у 1

x 2 x 1 y 2 y 1

х 1 , следует у 2 у 1 . у x 1 x 2 y 1 2 4 у 1 2 у 2 1 О х 1 1 х 2 2 3 х " width="640"

Убывание функции на промежутке

Определение . Функция называется убывающей на некотором промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е. для любых х 1 и х 2 , принадлежащих промежутку, из того, что х 2 х 1 , следует у 2 у 1 .

у

x 1 x 2 y 1 2

4

у 1

2

у 2

1

О х 1 1 х 2 2 3 х

Промежутки возрастания и убывания функции

Промежуток, на котором функция возрастает, называют промежутком возрастания функции . Промежуток, на котором функция убывает, называют промежутком убывания функции .

у

3

При нахождении промежутков возрастания (убывания)

функции принято указывать промежутки

наибольшей длины .

2

1

-3 -1 О 1 х

Промежуток

убывания

(- ∞; 0 ]

Промежуток

возрастания

[0; + ∞ )

-4

Четная функция

Определение . Если значения функции, соответствующие любым двум противоположным значениям аргумента (т.е. х и –х ), равны между собой, то такая функция называется четной .

• D( у) симметрична

относительно нуля, т.е.

если х D( у), то и (-х) D( у).

• у(-х) = у(х).

График четной функции

симметричен относительно

оси Оу.

у

1

-3

3

О 1 х

3

у(-3) = у(3) = -3.

Нечетная функция

Определение . Если значения функции, соответствующие любым двум противоположным значениям аргумента (т.е. значениям х и –х ), противоположны друг другу, то такая функция называется нечетной .

• D( у) симметрична

относительно нуля, т.е.

если х D( у), то и (-х) D( у).

• у(-х) = - у(х).

График нечетной функции

симметричен относительно

начала координат О(0;0).

у

1

О 1 2 х

-2 -1

-1

у(-2) = - у(2) = -1.

Основные свойства функции

• Область определения;
• множество значений;
• наибольшее и наименьшее значения;
• точки пересечения графика с координатными осями;
• нули функции;
• промежутки знакопостоянства;
• наличие (либо отсутствие) четности, нечетности;
• промежутки возрастания, убывания.