Презентация Информатика

Функция y = k/x

График функции (гипербола)

ФИО: Кириллов Антон

Группа: МФ-41

Слайд 1/5

План презентации

• Введение
• Определение функции y = k/x
• Область определения и область значений
• График (гипербола) и асимптоты
• Влияние коэффициента k
• Примеры построения
• Контрольные вопросы

Слайд 2/5

Что такое обратная пропорциональность

Если x увеличивается, то y уменьшается (и наоборот).

Формула:

y = k/x, где k ≠ 0

Слайд 3/5

Примеры обратной пропорциональности

• Скорость и время при фиксированном пути
• Сила тока и сопротивление (при постоянном напряжении)
• Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади

Слайд 4/5

0 и k Слайд 5/5 " width="640"

Цель и задачи

Цель: изучить свойства функции y = k/x и научиться строить её график.

Задачи:

• Определить область определения D(y) и область значений E(y)
• Понять роль знака коэффициента k
• Построить графики для k 0 и k

Слайд 5/5

Определение функции

• Функция обратной пропорциональности: y = k / x

• k — постоянное число (коэффициент), k ≠ 0

• x — независимая переменная, y — зависимая

• При увеличении x значение y уменьшается (и наоборот)

6

Что значит «обратно пропорциональны»

• Если x увеличили в n раз, то y уменьшится в n раз

• Произведение x · y остаётся постоянным и равно k

• Это удобно проверять на таблице значений

7

0 → I и III четверти; k 8 " width="640"

Роль коэффициента k

• k задаёт «масштаб» графика: чем больше |k|, тем дальше ветви от осей

• Знак k определяет, в каких четвертях расположены ветви

• k 0 → I и III четверти; k

8

Почему x ≠ 0

• В выражении y = k / x нельзя делить на ноль

• При x = 0 значение функции не существует

• Из-за этого график имеет разрыв и не пересекает ось y

• Прямая x = 0 — вертикальная асимптота гиперболы

9

Область определения D(y)

• Область определения — все значения x, при которых функция имеет смысл

• Для y = k / x: x может быть любым числом, кроме 0

• Запись: D(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

10

Область значений E(y)

• Область значений — все значения y, которые может принимать функция

• Для y = k / x: y не может быть равен 0 (так как k ≠ 0)

• Запись: E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

Параметр

Условие

Запись

Область определения D(y)

k ≠ 0

x ≠ 0, то есть (−∞;0) ∪ (0;+∞)

Область значений E(y)

y ≠ 0, то есть (−∞;0) ∪ (0;+∞)

11

График функции — гипербола

• График функции y = k / x называется гиперболой

• График состоит из двух ветвей

• Ветви никогда не пересекают оси координат

12

Асимптоты гиперболы

• Прямая x = 0 — вертикальная асимптота (график к ней приближается)

• Прямая y = 0 — горизонтальная асимптота

• Оси координат являются асимптотами гиперболы

13

Симметрия. Нечётность

• Для y = k / x выполняется: f(−x) = −f(x)

• Это значит, что функция нечётная

• График симметричен относительно начала координат

14

0: функция убывает на каждом из этих интервалов • Если k 15 " width="640"

Монотонность функции

• Важно рассматривать отдельно интервалы: (−∞; 0) и (0; +∞)

• Если k 0: функция убывает на каждом из этих интервалов

• Если k

15

0, ветви гиперболы находятся в I и III четвертях. Если k Знак k Где расположены ветви гиперболы k 0 I и III четверти k II и IV четверти " width="640"

Влияние знака k на расположение графика

Если k 0, ветви гиперболы находятся в I и III четвертях.

Если k

Знак k

Где расположены ветви гиперболы

k 0

I и III четверти

k

II и IV четверти

0: знак y совпадает со знаком x. При k x \ k k 0 x 0 k y 0 x y y y 0 " width="640"

Знак функции y = k/x

При k 0: знак y совпадает со знаком x.

При k

x \ k

k 0

x 0

k

y 0

x

y

y

y 0

0 Функция убывает на промежутках (-∞; 0) и (0; +∞). Важно: нельзя говорить «убывает на всей области определения», потому что есть разрыв в x = 0. k (-∞; 0) k 0 (0; +∞) убывает убывает " width="640"

Монотонность при k 0

Функция убывает на промежутках (-∞; 0) и (0; +∞).

Важно: нельзя говорить «убывает на всей области определения», потому что есть разрыв в x = 0.

k

(-∞; 0)

k 0

(0; +∞)

убывает

убывает

Монотонность при k

Функция возрастает на промежутках (-∞; 0) и (0; +∞).

Разрыв в x = 0 сохраняется.

k

(-∞; 0)

k

(0; +∞)

возрастает

возрастает

Алгоритм построения графика гиперболы

• 1) Записать функцию y = k/x (k ≠ 0) и отметить, что x ≠ 0.
• 2) Выбрать несколько значений x (отрицательные и положительные).
• 3) Вычислить соответствующие значения y и составить таблицу.
• 4) Нанести точки (x; y) на координатную плоскость.
• 5) Плавно соединить точки — получится две ветви гиперболы; график не пересекает оси x=0 и y=0.

Пример: y = 4/x (таблица значений)

Таблица значений для y = 4/x

x

-4

y

-2

-1

-1

-2

1

-4

2

4

4

2

1

0 → ветви графика в I и III четвертях. x = 0 и y = 0 — асимптоты (график к ним приближается). " width="640"

Пример: график y = 4/x

• k = 4 0 → ветви графика в I и III четвертях.
• x = 0 и y = 0 — асимптоты (график к ним приближается).

Пример: y = -4/x (таблица значений)

Таблица значений для y = −4/x

x

-4

y

-2

1

-1

2

1

4

2

-4

4

-2

-1

Пример: график y = -4/x

• k = -4
• x = 0 и y = 0 — асимптоты (график к ним приближается).

0? — при k — при k 0? — при k 5) Опиши, как построить график по таблице значений. " width="640"

Контрольные вопросы

• 1) Почему x не может быть равен 0 в функции y = k/x?
• 2) Что такое область определения функции?
• 3) Что такое область значений функции?
• 4) В каких четвертях расположены ветви гиперболы:

• — при k 0? — при k
• — при k 0?
• — при k
• 5) Опиши, как построить график по таблице значений.