Презентация "Интегрирование рациональных функций"

Интегрирование рациональных функций

• Дробно – рациональная функция
• Простейшие рациональные дроби
• Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
• Интегрирование простейших дробей
• Общее правило интегрирования рациональных дробей

900igr.net

Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов:

Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m

многочлен степени m

многочлен степени n

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:

Дробно – рациональная функция

Привести неправильную дробь к правильному виду:

Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:

Называются простейшими рациональными дробями

типов.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Теорема : Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители:

можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D … применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной . Первый метод рассмотрим на примере.

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:

Приведем простейшие дроби

к общему знаменателю

Приравняем числители получившейся и исходной дробей

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х

Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

Интегрирование простейших дробей

Интегрирование простейших дробей

Интеграл данного типа с помощью подстановки:

приводится к сумме двух интегралов:

Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала.

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы:

Интегрирование простейших дробей

a = 1; k = 3

Общее правило интегрирования рациональных дробей

Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения коэффициентов или методом частных значений переменной.

Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример

Приведем дробь к правильному виду.

Пример

Представим дробь в виде суммы простейших дробей

Разложим знаменатель правильной дроби на множители

Найдем неопределенные коэффициенты методом частных значений переменной

Пример