Презентация к проекту обучающихся 8 класса по теме "Площади фигур"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя школа № 2 г. Пестово»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 2 г. Пестово»

Площади фигур

Выполнили: обучающиеся «8Б» класса

Рыбинцева София,

Рыцарев Михаил,

Кудряшова Софья

Руководитель: Романова В.В.,

учитель математики

Пестово 2025

Введение

Проект посвящен изучению площадей плоских фигур. В рамках проекта будут представлены основные формулы для расчета площадей различных геометрических фигур, таких как квадрат, прямоугольник, ромб, треугольник, трапеция и круг.

Проект направлен на систематизацию знаний и помощь в подготовке к государственной итоговой аттестации.

Актуальность: рассмотрение площадей является актуальной темой для обучающихся, так как эти знания необходимы для дальнейшего изучения математики и физики, а также для успешного прохождения ГИА.

Цель проекта: систематизировать знания о площадях фигур.

Для достижения поставленной цели мы поставили перед собой следующие задачи :

1. Собрать и представить основные формулы для расчета площадей.

2. Привести примеры расчетов площаде .

3. Разработать тест для быстрого повторения теории и основных способов решения

задач перед экзаменом.

Основными    методами   и методиками исследования  являются:

исследовательский метод, метод проектов, информационно-коммуникационные технологии, групповая работа, технология сотрудничества.

Практическая значимость:

мы создаем обучающий материал, который поможет учащимся быстро усвоить основные формулы и применить их на практике.

Предмет исследования: площади фигур.

Гипотеза:

через практические задания лучше усваивается теоретический материал и развиваются навыки самостоятельного решения задач, связанных с вычислением площадей.

Наименование проекта

Исполнитель

Площади фигур

Цель

Обучающиеся «8Б» класса

Систематизировать знания о площадях фигур.

Задачи

Рыбинцева София

1. Собрать и представить основные формулы для расчета площадей .

Руководитель

Рыцарев Михаил

2. Привести примеры расчетов площадей .

Романова Валентина Викторовна

Кудряшова Софья

Год разработки

3. Разработать тест для быстрого повторения теории и основных способов решения задач перед экзаменом.

2025

Предметная область

Геометрия

Учебная тема

Площади фигур

Тип проекта

Информационно-исследовательский

Тип проекта по предметно-содержательной характеристике

Монопроект

Технологии

исследовательский метод, метод проектов, информационно-коммуникационные технологии, групповая работа, технология сотрудничества.

Краткая аннотация проекта

Проект посвящен изучению площадей плоских фигур.

Сроки реализации проекта

Проект направлен на систематизацию знаний и помощь в подготовке к государственной итоговой аттестации.

Январь- март 2025

Ожидаемые результаты

Создание интерактивного теста с практическими заданиями

Понятие площади

Площадь — это величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Представьте себе, что вы хотите покрасить стену или наклеить обои. Чтобы узнать, сколько краски или обоев вам нужно, сначала нужно узнать площадь стены. Таким образом, площадь помогает нам понять размер фигуры. Также площадь используется для расчёта территории участков земли, размеров паркета для комнаты и во многих других ситуациях .

В математике площадь обозначается буквой S. Например, площадь квадрата можно обозначить как S ​ , площадь трапеции — S ​.

Единицы измерения площади

Площадь измеряется в квадратных единицах. Основные единицы измерения площади — квадратные сантиметры (см²), квадратные метры (м²), квадратные миллиметры (мм²) и квадратные километры (км²).

Если сторона квадрата равна 1 см, его площадь будет: 

1 см ∙ 1 см = 1 см². Таким образом, площадь показывает, сколько таких квадратов нужно, чтобы заполнить фигуру.

Иногда площадь измеряется в других единицах, например, гектары (га), которые используются для измерения земельных участков. Один гектар равен 10 000 м².

Прямоугольник

Прямоугольник имеет две пары противоположных сторон, которые равны.

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину: 

S_ = a ∙ b,  где a и b — длины сторон прямоугольника.

Задачи для тренировки:

1. Найдите площадь прямоугольника с длиной 7 см и шириной 5 см.

Решение: S = 7 см ∙ 5 см = 35 см².

(S = 35 см²)

2. Прямоугольник имеет длину 8 см и ширину 5 см. Какова его площадь?

Решение: S = 8 см ∙ 5 см = 40 см².

(S = 40 см²)

Ромб

Ромб — это четырехугольник, у которого равны все стороны. Его диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Если известны длины диагоналей ромба, его площадь можно найти через произведение диагоналей,

поделенное на 2.

S = (d₁ * d₂) / 2 или S =1/2 *d₁ * d₂

Задача для тренировки:

Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 3:4, а периметр равен 40 см.

Решение. По определению ромба все его стороны равны. Если периметр равен 40 см, то длина одной стороны:

a = 40 / 4 = 10 см.

Диагонали ромба делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Пусть их

длины равны 3x и 4x, тогда половины диагоналей равны 3x / 2 и 4x / 2.

Эти половины являются катетами прямоугольного треугольника, где гипотенуза

равна стороне ромба. По теореме Пифагора:

(3x / 2)² + (4x / 2)² = 10².

Подсчитаем:9x² / 4 + 16x² / 4 = 100,

25x² / 4 = 100,

x = 4.

Длины диагоналей: d₁ = 3x = 12 см, d₂ = 4x = 16 см.

Теперь найдем площадь ромба по формуле:

S = 1/2 ⋅ d₁ ⋅ d₂ = 1/2 ⋅ 12 ⋅ 16 = 96 см².

Ответ: 96 см².

Квадрат

Квадрат — это особый вид прямоугольника, у которого все стороны равны. Площадь квадрата вычисляется умножением длины его стороны на саму себя: 

S = a ∙ a = a², где a — длина стороны квадрата.

Задачи для тренировки:

1. Найдите площадь квадрата со стороной 5 см. 

Решение: S = 5 см ∙ 5 см = 25 см².

(S = 25 см²)

2. Квадрат имеет сторону 7 см. Какова его площадь? 

Решение: S = 7 см ∙ 7 см = 49 см².

(S = 49 см²)

Треугольник

Прямоугольный треугольник.

Основная формула для вычисления площади треугольника  

(если известны основание (любая сторона) и высота, проведённая к

этому основанию)  S = a * h / 2 , где а — любая сторона, h — высота, проведённая к стороне а.

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, умножив длины

двух сторон, образующих прямой угол, и разделив результат на два.

S = (a ∙ b) : 2, где a и b — длины катетов треугольника.

Задачи для тренировки:

1. Найдите площадь треугольника с высотой 5 см и основанием 12 см.

Решение: S = (5 см ∙ 12 см) : 2 = 30 см². (S = 30 см²)

2. Прямоугольный треугольник имеет катеты 8 см и 15 см. Какова его площадь?

Решение: S = (8 см ∙ 15 см) : 2 = 60 см². (S = 60 см²)

Параллелограмм

Задачи на нахождение площади параллелограмма включены в обязательную часть итоговых испытаний как в виде краткого ответа, так и требующие подробного решения с построением чертежа, поэтому далее мы рассмотрим формулы, которые помогают их решить.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 

S=m⋅h или S=n⋅h

Задача для тренировки:

• Найдите площадь параллелограмма, если его сторона равна 6 см, а высота, проведенная к ней – 7см.

Решение:  Воспользуемся формулой S = m × h m      

Получим S = 6 × 7 = 42 см 2

(S = 42 см²)

Трапеция

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. 

Параллельные стороны a; b – основания, не параллельные стороны c; d – боковые («ножки»), h – высота, расстояние между параллельными сторонами (длина перпендикуляра).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину ее высоты.

S= a+b . h

2

Эта формула чаще всего используется при решении задач.

Задача для тренировки: Дано:

a = 12 см

b = 8 см

h = 6 см

Найти: площадь S

Решение: Подставляем в формулу и считаем.

S=(12+8)/2⋅6=10⋅6=60 см 2

Круг

Круг — это замкнутая фигура на плоскости, а значит, любой круг занимает какую-то площадь. Вычисляют площадь круга через радиус ограничивающей окружности, ее диаметр и длину.

1. С использованием радиуса окружности :

Пусть радиус окружности — R, тогда площадь круга

где ? — математическая постоянная. Принято использовать

приближенное значение ? = 3,14, но при необходимости

можно принять значение ? = 3 или наоборот использовать

более точное, вплоть до необходимого знака после запятой.

2.Через диаметр:

Вычисление площади круга через диаметр ограничивающей

окружности практически аналогично вычислению через радиус

в связи с тем, что радиус R равен половине диаметра D

Круг

Задачи для тренировки:

1. Радиус круга равен 7 см. Найдите площадь круга.

Решение: Подставляем в формулу S=π ⋅ R² и считаем.

S = π ⋅7² = 3,14⋅49 = 153,86 см 2

2. Диаметр круга равен 6 м. Найдите площадь круга.

Решение: Подставляем в формулу S= π/4 ⋅ D² и считаем.

S = π/4 ⋅ 6 ² = 153,86 м 2 .

Практическая часть

Создание теста «Площади фигур», автор Кудряшова Софья .

Ссылка на тест: https://onlinetestpad.com/vjhsr3jyfqsy4

При создании теста для проекта я использовала сайт onlinetestpad.com

Этот сайт позволил мне беспрепятственно и совершенно бесплатно, в хорошем качестве и в простоте действий оформить практический тест.

https://math-oge.sdamgia.ru/ – известный сайт, на котором многие ученики могут воспользоваться достоверными теоретическими и практическими знаниями для решения задач. Именно к этому сайту я обратилась в поиске задач для своего теста. Здесь ясно и подробно прописаны все алгоритмы по решению задач на нахождение площадей фигур. Сайт очень удобен для использования и понятен.

Практическая часть

Создание теста «Площади фигур», автор Кудряшова Софья.

Ссылка на тест: https://onlinetestpad.com/vjhsr3jyfqsy4

На сайте onlinetestpad.com не возникало неполадок

и сбоев, что достаточно позитивно повлияло на мою работу.

В дальнейшем, так же планирую обращаться к этому

сайту с похожим видом деятельности.

Когда я пыталась зарегистрироваться на других

платформах, у меня возникли проблемы:

-непонятное оформление рабочего стола сайта;

-усложненная регистрация и вход в личный кабинет;

-платные опции.

Практическая часть

Создание теста «Площади фигур», автор Рыцарев Михаил .

Ссылка на тест: https://onlinetestpad.com/gwla5ydth2exc

Для создания теста по математике на тему «Площади фигур»

для 8-9 классов я выбрал платформу OnlineTestPad.

Я начал с того, что составил список вопросов, которые

охватывали бы все основные аспекты этой темы - формулы

для расчета площадей различных фигур, задачи на

определение площади.

Источником стал интернет-сайт shkolkovo.

Затем я зарегистрировался на платформе и создал новый тест, добавив вопросы с помощью интерфейса редактирования тестов. В каждом вопросе я указал правильный ответ и возможные варианты выбора, чтобы учащиеся могли проверить свои знания.

После того как тест был готов, я проверил его на правильность и орфографические ошибки, а затем опубликовал его на платформе .

Практическая часть

https://onlinetestpad.com/gwla5ydth2exc

Проверка теста

Практическая часть

https://onlinetestpad.com/gwla5ydth2exc

Проверка теста

Заключение

В результате работы над проектом мы сделали вывод, что успешное освоение формул площадей фигур позволяет учащимся уверенно решать задачи по этой теме, которые будут на экзамене.

Мы считаем, что разработка интерактивных упражнений и тестов, основанных на реальных задачах ОГЭ, способствует эффективному закреплению материала.

Использование презентации с теоретическими сведениями и тестов делает процесс изучения геометрии интересным и доступным для каждого ученика, помогает повысить уровень подготовки к экзамену и развить математическое мышление.

Список литературы

1 . Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2014.

2. Сайт https://onlinetestpad.com/

3. Онлайн школа https://skysmart.ru/

4. Сайт https://math-oge.sdamgia.ru/

5. Сайт https://3.shkolkovo.online/catalog?SubjectId=31

Отзыв руководителя

В ходе выполнения данного проекта обучающимися была рассмотрена тема использования формул площадей различных геометрических фигур в контексте подготовки к Основному государственному экзамену (ОГЭ).

Проект продемонстрировал важность глубокого понимания теоретического материала и уверенного владения практическими навыками вычисления площадей плоских фигур.

Основное внимание уделялось изучению ключевых формул площади треугольника, прямоугольника, квадрата, параллелограмма, трапеции и круга. Эти знания необходимы для успешного выполнения заданий, связанных с геометрией, на ОГЭ.

Практическая часть работы включала решение типовых задач экзаменационного уровня, что позволило закрепить полученные теоретические знания и развить умение применять формулы в различных ситуациях.

Проект показал, что систематическое изучение и тренировка в решении задач с использованием формул площадей способствуют повышению уровня математической грамотности учеников и обеспечивают надежную основу для успешной сдачи ОГЭ.

Таким образом, проект подтвердил значимость тщательной подготовки к ОГЭ и важность углубленного изучения математических дисциплин для достижения высоких результатов на экзамене .