Презентация к проекту "Теорема Симсона"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Теорема Симсона

Выполнил:

Учащийся 10 класса «А»

Владимиров Лев Валерьевич

Научный руководитель:

Андрющенко Алла Рудольфовна,

учитель математики

Тамбов, 2021

Содержание

I.Введение

II.Актуальность

III . Информация по теме

IV.Продукт

V.Антиплагиат

VI.Вывод

VII.Список литературы

Введение

Тип проекта:

Исследовательско-информационный. Заинтересованность: Я выбрал эту тему благодаря множеству возможностей, что дает теорема Симсона. Теорема Симсона может быть использована во многих разделах геометрии при решении задач.

Актуальность

Значительность выбранной темы обусловлена тем, что умение работать с теоремой Симсона помогает при решении ряда задач, в которых нужно доказать, что три точки лежат на одной прямой.

Цели проекта

• Изучить формулировку и доказательство теоремы Симсона.
• Научиться использовать теорему Симсона при решении задач.

Формулировка теоремы

Основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника (или их продолжения) из точки, лежащей на описанной около этого треугольника окружности, лежат на одной прямой.

Доказательство теоремы

Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.

Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.

∠ BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).

∠ DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).

Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.

90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.

Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.

Типовые задачи на теорему Симсона

Задача 1. В треугольнике АВС проведены высота BH и биссектриса BL. Точки Р и Q – основания перпендикуляров, опущенных из А на BL и из L на ВС соответственно. Докажите, что точки Н, Р и Q лежат на одной прямой.

Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

Доказательство 1 задачи

Заметим, что точки Н, Р и Q – это основания перпендикуляров, опущенных из точки L на прямые ВН, АР и ВС соответственно. Поэтому достаточно доказать, что L лежит на окружности, описанной около треугольника, образованного этими прямыми. Это треугольник BDE, где D и Е – точки пересечения прямой АР с ВН и ВС соответственно. Действительно, точки А и Е симметричны относительно BL, значит,  LAP =  LEP. Кроме того,  LAP = 90  –  ВLA =  LBD. Следовательно,  LED =  LBD, то есть точки L, D, В и E лежат на одной окружности .

Доказательство 2 задачи

Решение. Пусть А1, В1 и С1 - середины отрезков РА, РВ и РС; Од. Оa, и Оc - центры описанных окружностей треугольников ВСР. АСР и АВР. Точки А1, В1 и С1 являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ОaОbОc, (или на их продолжения). Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой, следовательно, точка Р лежит на описанной окружности треугольника ОaObOc.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3. Окружность с центром I, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ и ВС в точках С0 и А0 соответственно. Окружность, проходящая через точки В и I, пересекает стороны АВ и ВС в точках X и Y. Докажите, что середина отрезка XY лежит на прямой А0С0.

Задача 4. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D. Точки Е и F симметричны точке D относительно биссектрис углов А и С. Докажите, что середина отрезка ЕF лежит на прямой А0С0, где С0 и А0 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС со сторонами АВ и ВС.

Задача 5. На биссектрисе угла АВС зафиксирована точка F. Рассматриваются равнобедренные треугольники А1FC1, где точки А1 и C1 лежат на лучах ВА и ВС соответственно. Найдите геометрическое место середин их оснований А1C1.

Задача 6. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АЕ. Радиус OЕ описанной окружности треугольника AEC пересекает биссектрису угла ACB в точке L. .Докажите, что L лежит на средней линии треугольника AEC.

Задача 7. Окружность, центр которой лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC треугольника ABC, касается стороны BC в точке A0, а продолжения стороны AB заточку B – в точке C0. Докажите, что прямая A0C0 проходит через середину стороны AC.

Продукт

Был создан сайт по моему проекту, в котором была изложена основная информация по теореме Симсона. Далее я хотел бы его продемонстрировать

Антиплагиат

Антиплагиат показал стопроцентную уникальность в моем реферате.

https://antiplagius.ru/proverka-unikalnosti-onlajn.html?id=5016066&email=ja777%40list.ru

Вывод

В этом проекте было показано множество способов применения теоремы Симсона, а также была разобрана ее формулировка и доказательство. Показанный мною материал, освещает информацию, которая неизвестна среднестатистическому школьнику, что может заинтересовать и побудить к более подробному изучению теоремы Симсона и геометрии в целом.

Благодаря этому проекту, я подробнее познакомился с теоремой Симсона и геометрией в целом, что облегчит мне решение задач более сложного уровня, а также он поможет мне построить базу знаний, которая поспособствует мне в дальнейшем изучении математики.

Список литературы

• Савелов А. А.  Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Под ред. А.П. Нордена. — М.: Физматлит, 1960. С. 127
• В. Березин.  Дельтоида (рус.) // [Квант (журнал). — 1977. — № 3. — С. 19.
• https://geometry.ru/persons/shvetsov/Simson1problems.pdf
• http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/geom-9/2017-01-10_Pryamaya_Simsona.pdf
• http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/geom-9/2017-01-10_Pryamaya_Simsona.pdf
• http://math.mosolymp.ru/upload/files/2017/khamovniki/geom-9/2017-01-10_Pryamaya_Simsona.pdf