Презентация к уроку "Четыре замечательные точки треугольника"

№ 664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

М

В

А

О

142 0

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.

М

В

71 0

А

О

161 0

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.

М

В

161 0 : 2 = 160 0 60 / : 2

= 80 0 30 /

80 0 30 /

А

О

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.

В

86 0 2 =

= 172 0

172 0

О

86 0

М

А

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.

44 0 55 / 2 = 88 0 110 /

= 89 0 50 /

В

О

44 0 55 /

М

А

№ 670. Через точку А проведены касательные АВ

(В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q . Докажите, что АВ 2 = АР А Q .

А

Р

Р

Q

В

АВР А Q В

по 1 признаку подобия

АР

АВ

РВ

=

=

АВ 2 = АР А Q .

АВ

А Q

В Q

№ 671. Через точку А проведены касательные АВ

(В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите С D , если АВ=4 см,

АС=2 см.

А

2

2

АВ 2 = А C А D .

C

?

6

4

4

4 2 = 2 А D .

D

А D = 8

В

№ 672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В 1 , С 1 , а другая – в точках В 2 , С 2 . Докажите, что АВ 1 АС 1 = АВ 2 АС 2

А

В 1

А D 2 = AB 1 А C 1

=

В 2

А D 2 = AB 2 А C 2

С 1

D

С 2

Свойство медиан треугольника .

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

С

2

АО

СО

ВО

=

=

=

1

А 1 О

С 1 О

В 1 О

В 1

А 1

О

А

В

С 1

1

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема

В

K

А

1

2

М

L

С

Обратная теорема

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

В

K

А

М

L

С

Следствие

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В

K

С1

А

По теореме

о биссектрисе

угла

О

ОМ

ОМ=ОК

О L

ОК =О L

В 1

А 1

М

L

=

По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С

2

С

Определение

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.

М

С

В

a

Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра

к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

М

O

B

A

m

Обратная теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

O

B

A

N

m

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие

n

C

B

О

По теореме о

серединном перпендикуляре к отрезку

р

m

О A =О B

О A

О B =О C

О C

=

A

3

По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС

Высоты треугольника

Теорема

(или их продолжения) пересекаются в одной точке.

С 2

B

А 2

A 1

С 1

По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

A

C

В 1

4

В 2

медиан

биссектрис

высот

перпенди

куляров

Замечательные точки треугольника.

Точка

пересечения

Точка

пересечения

Точка

пересечения

Точка

пересечения

серединных

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии!

Точка, обладающая таким свойством, называется

центром тяжести треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С.

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника.

Точка пересечения

высот называется

ортоцентр.

O

В

М

Т

В

А

С

O

С

А

К

Высоты тупоугольного треугольника пересекаются

в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

O

Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Серединным перпендикуляром к отрезку

называется прямая, проходящая через

середину данного отрезка и

перпендикулярно к нему.

O

Эта точка замечательная –

точка пересечения

серединных перпендикуляров

к сторонам треугольника

является центром описанной окружности.