Презентация к уроку геометрии в 7 классе "Аксиома параллельности прямых"

Аксиома параллельных прямых

Геометрия 7 класс

Повторение

Вставьте недостающие слова:

• Две прямые на плоскости называются параллельными, если __________________________.
• Если при пересечении двух прямых секущей __________________________________, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей __________________________________, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей __________________________________, то прямые параллельны.

они не пересекаются

накрест лежащие углы равны

сумма односторонних углов равна 180 0

соответственные углы равны

Повторение

• Назовите пары накрест лежащих, соответственных и односторонних углов.

1

2

4

3

5

6

7

8

Об аксиомах геометрии

• Изучая свойства геометрических фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как правило, на доказанные ранее теоремы. А на чем основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами .

Об аксиомах геометрии

• Некоторые аксиомы были сформулированы еще в первой главе (хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой является утверждение о том, что через любые две точки проходит прямая, и притом только одна . Многие другие аксиомы, хотя и не были выделены особо, но фактически использовались в наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложения вытекает из следующей аксиомы: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Об аксиомах геометрии

• Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.
• Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».

Об аксиомах геометрии

• Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился еще в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древне­греческого ученого Евклида (примерно 365—300 гг. до н. э.).

Об аксиомах геометрии

• Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией.
• Познакомимся с одной из самых известных аксиом геометрии

Аксиома параллельных прямых

• Рассмотрим произвольную прямую а и точку М, не лежащую на ней . Проведем через точку М прямую параллельную прямой а.

Построение:

с

1. Проведем прямую с, проходящую через М и перпендикулярную а.

М

b

2. Проведем прямую b , проходящую через М и перпендикулярную с.

3. а ׀׀ b на основании теоремы о двух прямых перпендикулярной третьей .

а

Аксиома параллельных прямых

• Итак, через точку М проходит прямая b , параллельная прямой а. Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а?

• Нам представляется, что если прямую b «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечет прямую а (прямая b ' на рисунке).
• Иными словами, нам кажется, что через точку М нельзя провести другую прямую (отличную от b ), параллельную прямой а.
• А можно ли это утверждение доказать?

с

b’

М

b

а

Аксиома параллельных прямых

• Оказывается этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной . Многие математики, начиная с древних времен, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными.

Аксиома параллельных прямых

• И лишь в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856).

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая , параллельная данной.

Следствия из аксиомы

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.

Следствия из аксиомы

Следствие 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

• Дано: ,
• Доказать:
• Доказательство: Если c не пересекается c b , то
• Значит через точку М проходит две прямые а и с параллельные b , это противоречит аксиоме, значит

с

а

М

b

Следствия из аксиомы

Следствие 2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

• Дано: a||c, b||c
• Доказать: a||b
• Доказательство: Пусть a не параллельна b , т.е
• Тогда через точку М проходит две прямые а и b параллельные c , это противоречит аксиоме, значит a||b .

а

М

b

с

Решение задач

• № 197
• № 199

Решение задач

• Прямая d пересекает прямую b . Пересечет ли эта прямая прямую a ? Почему?

d

b

a

80 0

100 0

c

Домашнее задание

Домашнее задание

• П.п. 27, 28
• № 196
• № 198
• № 200