Презентация к уроку математики по теме «Касательная. Уравнение касательной»

ТЕМА УРОКА:

«Касательная.

Уравнение касательной»

10 класс

Коровкина Н .М.

ДЕВИЗ УРОКА:

Плохих идей не бывает

Мыслите творчески

Рискуйте

Не критикуйте

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой .

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

МЕХАНИЧЕСКИЙ (ФИЗИЧЕСКИЙ) СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

• Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S = f ( t ).
• Скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути S по времени t :
• Ускорение прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от скорости  по времени t :

ВАЖНО !!! Физический смысл производной  заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

Это может означать, например, следующее:  Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени .  Если же мы рассматриваем в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения .  Если мы рассматриваем функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии. Если мы рассматриваем электромагнитные волны, то нам могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей , а также их производные - скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля. И т.п.

Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная  y , заданная функцией  f ( x ) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ .

• Угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции, вычисленной в точке касания.

f′(x) = k = tg a

ВЕРНО ЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ?

Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку .

ВАЖНО !!!

А что такое касательная к графику функции?

Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: "Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции." Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты "взаимодействия" прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции  у  = sin x  имеет прямая  y  = 1?

Касательная - это предельное положение секущей.

ПУСТЬ ДАНА И ДВЕ ПРЯМЫЕ И , ИМЕЮЩАЯ С ДАННОЙ ПАРАБОЛОЙ ОДНУ ОБЩУЮ ТОЧКУ М (1;1).

y

y = 2х - 1

y = x 2

y

1

x

y = cos x

х = 1

-π

π

x

y = -1

х = π

y

y = 2х - 1

y = x 2

x

1

х = 1

Касательная – предельное положение секущей

y = kx+b – уравнение прямой

k- угловой коэффициент

k = tg α

f ´ (x) = tg α

Если х 0 = а , то y = f(a) + f / (a) · (x - a)

АЛГОРИТМ

1 . Обозначим абсциссу точки касания буквой Х 0

2. Вычислим f ( Х 0 )

3. Найдем f ´ (x) и вычислим f ´ ( Х 0 )

4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной.

5. y = f( Х 0 ) + f / ( Х 0 ) · (x - Х 0 )

13

ПОТРЕНИРУЕМСЯ:

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=x²-3x+5 в точке с абсциссой а = -1

С

f(x)= √ ( 3-2x )

Я

f ' (1)= ?

f(x)=5/ ³√ ( 3x+2 )

Ю

f ' ( -1/3 )= ?

f(x)=12/ √ ( 3x² + 1 )

Ф

f ' ( 1 )= ?

f(x)= 4 √ ( 3-2x² )

К

И

f(x)=2ctg2x

f ' ( -1 )= ?

f ' ( - π /4 )= ?

f(x)=4/(2-cos3x)

Л

f ' ( - π /6 )= ?

f(x)= tg x

f ' ( π /6 )= ?

1

4/3

9

-4

-1

-3

5

Ф л ю к с и я

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чём заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока

тревожно, не уверен в себе

спокойно, у меня все получится

безразлично, что будет, то и будет