Презентация к уроку на тему: "Объем пирамиды"

Объем пирамиды

преподаватель математики

ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»

Демьянова Светлана Васильевна

Геометрические фигуры и их площади

S = ab

S =

S = a

S = 6

1.Определение

- многоугольник

АВСДЕ … лежит

в плоскости

M

• точка М не лежит

в плоскости

B

C

D

A

МАВСДЕ…- пирамида

E

высота

апофема

Бок.

грань

Бок. ребро

вершина

2.Элементы

S

Название пирамиды определяется

по названию многоугольника ,

лежащего в основании пирамиды.

Например:

n=3

Не путать с правильной пирамидой!

Треугольная пирамида

Тетра эдр – четырех гранник

Правильный тетраэдр.

Все ребра равны.

n=4

Четырехугольная пирамида

Пирамида Хеопса

в Гизе (долина царей).

n=6

Шестиугольная пирамида

Правильная пирамида

1.Основание -

правильный многоугольник

2.Вершина проецируется в центр многоугольника

Пирамида

• Пирамидой ( SABCD ) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды ( ABCD ), точка S , не лежащая в плоскости основания, - вершиной пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
• Треугольники SAB, SBC, SCD, SDA - боковые грани .
• Прямые SA, SB, SC, SD - боковые ребра пирамиды.
• Перпендикуляр SO , опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н .
• Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник, а высота ее проходит через центр основания.
• Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники, равные между собой.
• Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема пирамиды.
• Треугольная пирамида называется тетраэдром .

Задача

Дано: АВСD – квадрат

АВ= 2 , ОК=2

Найти V пирамиды

Решение

К

2

= 8

S = 2 · 2

В

В

С

o

КО – высота пирамиды

О

А

D

2

Пирамиды вокруг нас

• «А в немой дали застыли пирамиды фараонов, саркофаги древней были. Величавые как вечность, молчаливые как смерть.»
• Михай Эминеску

Математическая точка зрения

• Евклид пирамиду определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке .
• Герон предложил следующее определение пирамиды: « Это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке и основанием которой служит многоугольник ».

А под конец…

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит

этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды , точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и треугольников - боковых граней .

Термин “пирамида” заимствован

из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в свою очередь позаимствовали это слово, как полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово “пирамус” в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит от греческого слова “пир” - огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.

Высота

P

Вершина

Боковые грани

Основание

H

Боковые ребра

А n

А 2

α

А 1

Пирамиды

Треугольная пирамида (тетраэдр)

Четырехугольная пирамида

Шестиугольная пирамида

• Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник , а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

P

h

O

А n

А 3

А 1

А 2

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Апофемы

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Диагональное сечение пирамиды – сечение плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра

Площадь пирамиды

S полн. = S бок. + S осн.

S бок.

S осн.

H

h

Свойства пирамиды:

У правильной пирамиды:

• боковые ребра равны;

• боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками;
• апофемы равны;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра на апофему.

Свойства пирамиды:

• если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.

• если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

∙

Теорема: Объём усечённой пирамиды, высота которой h, а площади оснований равны S и S₁ вычисляется по формуле.

• Объем усеченной пирамиды будем рассматривать как разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее плоскостью, параллельной основанию

Задачи по готовым чертежам

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

0

5

2

,

В 13

х

3

х

1

0

3

В 13

х

3

х

1

0

Задачи по готовым чертежам

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, сторона основания равна 10. Найдите ее объем.

.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Н

2

6

5

2

0

0

45 0

В 13

В 13

х

3

х

3

х

1

0

х

1

0

Задачи (база)

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 0 . Найдите объем пирамиды.

V =18

Высота правильной треугольной пирамиды равна , а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 0 . Найдите объем пирамиды.

V = 192