Презентация к занятию математического кружка "Разрезание геометрических фигур на части"

Внеклассное занятие по математике

РАЗРЕЗАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ЧАСТИ

Учитель математики МКОУ сош № 17

Кашенцева М.А.

ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЯ

Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

ЗАДАНИЕ 1

Разрежьте прямоугольник a ˟ 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1

Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC

(М – середина АВ)

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС.

Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС.

Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС

ЗАДАНИЕ 2

РАЗРЕЗАТЬ РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК НА ЧАСТИ ТАК, ЧТОБЫ ИЗ НИХ МОЖНО БЫЛО СЛОЖИТЬ КВАДРАТ

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать ∆АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.

Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК= а , АМ=ЕС= а /2.

Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий:

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ.

Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ.

Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат:

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

ЗАДАНИЕ 3

РАЗРЕЗАТЬ КВАДРАТ НА ЧАСТИ ТАК, ЧТОБЫ ИЗ НИХ МОЖНО БЫЛО СЛОЖИТЬ ДВА КВАДРАТА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3

ОБОЗНАЧИМ ИСХОДНЫЙ КВАДРАТ ABCD. ОТМЕТИМ СЕРЕДИНЫ СТОРОН КВАДРАТА – ТОЧКИ M, N, K, H . ПРОВЕДЕМ ОТРЕЗКИ МТ, НЕ, КF И NР – ЧАСТИ ОТРЕЗКОВ МС, НВ, КА И ND СООТВЕТСТВЕННО.

РАЗРЕЗАВ КВАДРАТ ABCD ПО ПРОВЕДЕННЫМ ЛИНИЯМ, ПОЛУЧИМ КВАДРАТ PTEF И ЧЕТЫРЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА MDHT, HCKE , KBNF И NAMP .

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3

PTEF – УЖЕ ГОТОВЫЙ КВАДРАТ.

ИЗ ОСТАВШИХСЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ СОСТАВИМ ВТОРОЙ КВАДРАТ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3

ВЕРШИНЫ A, B, C И D СОВМЕСТИМ В ОДНУ ТОЧКУ, ОТРЕЗКИ АМ И ВК, MD И КС, BN И СН, DH И АN СОВМЕСТЯТСЯ .

Т ОЧКИ Р, Т, Е И F СТАНУТ ВЕРШИНАМИ НОВОГО КВАДРАТА .

ЗАДАНИЕ 4

Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат.  Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

ТРЕУГОЛЬНИК РАЗРЕЖЕМ НА ЧАСТИ ТАК, КАК ПОКАЗАНО В ЗАДАНИИ 2. ДЛИНА СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА – 2а .

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

• Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

Возьмем квадрат со стороной 2 а , обозначим его LRSD.

Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV.

Разрежем квадрат на четырехугольники.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

ЗАДАНИЕ 5

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5

СОЕДИНИМ ВЕРШИНЫ КВАДРАТОВ ТАК, КАК ПОКАЗАНО НА РИСУНКЕ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5.

ОТРЕЖЕМ ТРЕУГОЛЬНИКИ, ОКАЗАВШИЕСЯ ВНЕ КВАДРАТА. ПЕРЕМЕСТИМ ИХ ТАК, КАК ПОКАЗАНО НА СХЕМЕ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5.

ЗАДАНИЕ 6

Перекроить два произвольных квадрата в один.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6

На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6

На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6

ЛИТЕРАТУРА

• 1. А.В. Фарков «Внеклассная работа по математике» 5-11 классы, Москва, Айрис-пресс, 2009
• 2. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин «Задачи на смекалку», М., «Просвещение», 2006
• 3. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия», М., МИРОС, 1995