Презентация "Календарь глазами математика"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Юрьевская средняя общеобразовательная школа» КАЛЕНДАРЬ ГЛАЗАМИ МАТЕМАТИКА

Выполнила: Касаткина В.Г.

ученица 9 класса

Руководитель: Касаткина Е.В.

учитель математики

Актуальность исследования

Интерес к настенному календарю у меня появился после задачи, которую мы встретили при участии в 2019 году в Новосибирском математическом марафоне:  «если соединить числа 10,20 и  30 любого месяца  , то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Докажите это.»  Задача про календарь и треугольники оказалась нестандартной задачей на признаки равенства треугольников и вызвала интерес и много вопросов. По совету учителя я продолжила исследование задачи и постаралась ответить на возникшие вопросы. Результатом моего исследования стал проект  «Календарь глазами математика».

Цель проекта: И зучить и систематизировать математические закономерности в календаре на уровне понятном моим сверстникам.

Задачи проекта:

1.  Изучить литературу по данной теме.

2.  Обработать полученную информацию.

3.  Познакомиться с историей появления календарей.

4.  Исследовать задачу про календарь и треугольники.

5.  Подобрать и исследовать задачи по теме «календари».

6.  Выявить какими особенностями обладают календари.

Объект: календарь.

Предмет: особенности и закономерности календаря.

Исследование задачи про календарь и треугольники Задача: Если в календаре на  январь 2019  года соединить числа 10, 20. 30, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник. Доказать.

Очевидно, что у треугольника 30 – 9 – 10 угол 9 прямой, и, аналогично, является прямым угол 13 у треугольника

10 – 13 – 20. Ясно, что стороны 9 -30 и

10 – 13 равны; аналогично равны стороны 9 – 10 и 13 – 20. Поэтому треугольники 9 – 30 – 10 и 13 – 10 – 20 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезки 10 – 30 и 10 – 20 равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180˚, получаем, что сумма острых углов в треугольнике 9 – 10 – 30 равна 180˚–90˚=90˚. Следовательно, сумма углов, дополняющих угол 10 треугольника 10-20-30 до развернутого угла, равна сумме острых углов треугольника 9 – 10 – 30. Значит, угол 10 тоже равен 90˚. Итак, треугольник 10 – 20 – 30 является равнобедренным прямоугольным.

Будет ли это утверждение верно для января любого года? Расположение чисел 10, 20 и 30 в январе зависит от того, каким днем недели будет   1 января

Анализируя рисунки, мы видим, что существует семь различных вариантов расположения дат в январском календаре. При этом существует всего три существенно различных ситуаций расположения чисел 10, 20 и 30, остальные получаются из первых двух, горизонтальными сдвигами треугольника.

Вывод:  Табель – календари обладают следующей особенностью:

• Если соединить числа 10, 20 и 30 в январе месяце любого года, то будет получаться равнобедренный прямоугольный треугольник (за исключением тех мест, где центры клеток 10, 20 и 30 лежат на одной прямой).
• Заметили, что первая ситуация получается, если 1 число месяца приходится на воскресенье, понедельник и вторник.
• Вторая ситуация получается, если 1 число месяца приходится на среду, четверг и пятницу. Если 1 число приходится на субботу, то получаем, что числа 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

Будет ли это утверждение верно для любого месяца года?

Вывод.  Календари обладают следующей особенностью: если в календаре соединить числа 10, 20 и 30 любого месяца, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой

Попробуем расширить утверждение: если в календаре в любом месяце соединить числа, стоящие друг от друга на 10 единиц

Из рисунков видно, что получаются треугольники или отрезки. Проведя доказательства, делаем вывод, что получаются равнобедренные прямоугольные треугольники.

Таинственные квадраты в календарях.

Исследуя календари, заметили, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2×2), из девяти чисел (3×3), из шестнадцати чисел(4×4). Какими свойствами обладают такие квадраты?

Квадрат 2×2

Сумма чисел на одной диагонали выделенного квадрата, равна сумме чисел на другой диагонали. Чтобы найти сумму всех четырех чисел достаточно сумму чисел одной диагонали умножить на 2. (8+2) ×2=20

Квадрат 3 х 3

Свойство 1.  Чтобы найти сумму девяти чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9. Пример:  (1 + 8)9 = 81.

Свойство 2.  Чтобы найти сумму девяти чисел,

в выделенном квадрате календаря, необходимо

из большего числа вычесть 8 и разность умножить

на 9.

Пример: (17 – 8)9 = 81.

Квадрат 4 х 4

Свойство 1.  Чтобы найти сумму шестнадцати чисел, в выделенном квадрате календаря, необходимо из большего числа вычесть 12 и полученную разность умножить на 16. Пример:  (25 – 12)16 = 208.

Свойство 2.  Чтобы найти сумму 16-ти чисел

достаточно умножить сумму двух чисел,

стоящих на противоположенных концах любой

диагонали, выделенного квадрата на 8.

Пример:  (1+25)8 = 208.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КАЛЕНДАРЕ

1.  Может ли быть в одном месяце 5 понедельников и 5 четвергов? Обоснуйте ответ.

Если в месяце 31 день, и он начинается с понедельника, то в нём может быть 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред, но остальных дней недели по четыре, так как 5+5+5+4+4+4+4=31. Ответ: не может.

2.  Может ли в феврале високосного года быть 5 понедельников и 5 вторников? Ответ обоснуйте.

Только в феврале високосного года может быть 5 понедельников и по 4 остальных дней недели, т.е. в сумме – 29 дней .  Ответ: не может.

3. Известно. Что 1 декабря приходится на среду. На какой день недели приходится 1 января следующего года?

Среда 1, 8, 15, 22, и 29 декабря, четверг 30, пятница 31. Ответ: суббота 1 января следующего года.

ВЫВОДЫ В ходе работы над проектом я пришла к следующим  результатам:

1·  Доказала, что если соединить в табель – календаре в январе месяце любого года, в любом месяце года числа 10, 20 и 30, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник (кроме месяца, когда 1 число приходится на субботу);

2·  Показала, что в календаре можно выделять квадраты чисел 2×2; 3×3; 4×4, и применить правила быстрого подсчета суммы чисел в этих квадратах.

3·  Решила и исследовала задачи, которые можно предлагать на уроках математики и во внеклассной работе.

Спасибо за внимание!