Презентация на тему: "Кривые второго порядка"

Кривые второго порядка

• Общее уравнение кривой второго порядка
• Окружность
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

Общее уравнение кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс , частным случаем которого является окружность , гипербола и парабола .

Они задаются уравнением второй степени относительно x и y :

Общее уравнение кривой второго порядка

В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А( a; b ) на расстояние R .

Для любой точки М справедливо:

y

М (x; y)

R

А

0

х

Каноническое уравнение окружности

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2 , называемых фокусами , есть величина постоянная, равная 2а.

Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [ F 1 F 2 ]

y

M(x; y)

r 2

r 1

F 2

F 1

0

c

-c

х

Эллипс

b 2

b 2

b 2

Каноническое уравнение эллипса

Эллипс

y

b

M(x; y)

r 2

r 1

малая полуось

F 2

F 1

а

-а

0

c

-c

х

-b

большая полуось

фокальное расстояние

фокальные радиусы точки М

эксцентриситет эллипса

Эксцентриситет характеризует форму эллипса ( ε = 0 – окружность)

Для эллипса справедливы следующие неравенства:

Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0) , а эксцентриситет равен 0,8.

Каноническое уравнение эллипса:

y

3

0

5

х

- 5

- 3

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2 , называемых фокусами , есть величина постоянная, равная 2а.

y

M(x; y)

r 1

r 2

F 2

F 1

0

c

-c

х

Гипербола

После тождественных преобразований уравнение примет вид:

b 2

b 2

b 2

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола

y

M(x; y)

b

r 1

r 2

F 2

F 1

а

- а

c

0

-c

х

-b

мнимая полуось

фокальные радиусы точки М

действительная полуось

Для гиперболы справедливо:

асимптоты гиперболы

эксцентриситет гиперболы

Пример

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку

А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:

Точка А лежит на гиперболе

Решим систему:

Пример

Каноническое уравнение гиперболы:

y

0

х

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости

, называемой фокусом , равно расстоянию до прямой:

y

d

M(x; y)

r

F

0

х

Парабола

каноническое уравнение параболы

y

директриса параболы

d

M(x; y)

r

фокальный радиус

F

0

х

фокус параболы

Эксцентриситет параболы:

Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Составим из коэффициентов уравнения два определителя:

Дискриминант уравнения

Дискриминант старших членов уравнения

Эллипс

Точка

Гипербола

Пара пересекающихся прямых

Парабола

Пара параллельных прямых

Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy =0:

Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Перенесем начало координат в точку (1; -1) , получим новую систему координат:

y

y’

4

1

0

х

- 1

x’

5

5

4

Преобразование общего уравнения к каноническому виду

Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α . При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами:

Угол α удовлетворяет условию:

В случае, если A = C , то