Презентация на тему: "Матрицы и действия над ними"

« Матрицы и действия над ними»

Содержание:

• Понятие матрицы
• Сложение матриц
• Вычитание матриц
• Умножение матрицы на число
• Умножение матриц

Понятие матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

где i=1,2,3,…,

m – номер строки,

j=1,2,3,…,n – номер столбца, вида

Матрицу А называют матрицей размера и пишут:

Например:

Элементы матрицы

• Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами . Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Виды матриц

• Матрицы равны между собой , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
• Матрица, в которой число строк равно числу столбцов называется квадратной , причем число ее строк называется порядком матрицы

Например:

квадратная матрица третьего порядка

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме элементов, находящихся на главной диагонали равны нулю, и матрица имеет вид

Например:

диагональная матрица третьего порядка

Единичная матрица

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример

Нулевая матрица

• Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Она имеет вид:

Вектор - матрица

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором

(вектор-строка или вектор-столбец соответственно). Их вид:

• Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. есть 5.

Транспонированная матрица

• Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается

Транспонированная матрица обладает следующим свойством:

Пример:

Сложение

• Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Сумма матриц

-

Называется матрица,

такая, что

• i=1,2,3,…,m,
• j=1,2,3,…,n.

Пример 1

Пример 2.

Аналогично определяется разность матриц :

Умножение на число

Произведением матрицы

на число k называется матрица

такая, что

i=1,2,3,…,m,

j=1,2,3,…,n.

Пример 3.

Свойства сложения матриц и произведения матрицы на число

где А, В, С – матрицы,

, - числа.

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы .

Произведением матрицы

на матрицу

называется матрица

такая, что

где i=1,2,3,…,

m, k=1,2,3,…,p,

Правило:

т.е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В .

Получение элемента схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, но необязательно равны друг другу. Легко показать, что где А - квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера

Пример 4.

Пример 5

Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А(3) не равно числу строк матрицы В(2).

Произведение матрицы считают следующим образом:

Пример 6.

Найти произведение матриц

,

если:

Решение:

• Пример 7. Найти произведения матриц
• и

Решение:

то есть

Свойства умножения матриц