Презентация на тему " Сложение неотрицательных чисел"

Презентация по математике

Сложение неотрицательных целых чисел

Подготовила:

Гасанлы Ляман ИСМ201

• Определение: Суммой целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число a + b, равное числу элементов в объединении непересекающихся множеств А и В, таких, что m(A) = a, m(B) = b
• a + b – сумма, a и b – слагаемые.
• Теорема: сумма  любых  двух целых неотрицательных чисел  существует  и она  единственна.

• Доказательство :
•   Докажем единственность сложения натуральных чисел.
• Доказательство. Допустим, что в множестве N существуют две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком +, а другую – знаком . Для этих операций имеем:
• 1)  а + 1 = а;                              1) а  1 = а;
• 2)  а + b = (а + b)                     2) a  b =  (a  b).
• Докажем, что   (1)
• Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство (1) истинно.
• Нетрудно убедиться в том, что 1М. Действительно, из того, что           а + 1 = а= а   1, следует, что а + 1 = а   1.
• Докажем теперь, что если bM, то bM, т.е. если а + b = а b, то        а + b = a  b. Так как а + b = а b, то по аксиоме 2  (а + b) = (а b), и тогда а + b= (а + b) = (а b)= a  b. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b, то по аксиоме 4 множество М совпадает с N, а значит равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции + и  на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

• Докажем существование сложения натуральных чисел.
• Доказательство. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении, существует.
• Пусть М – множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.
• Покажем, что 1М. Для этого при любом b предположим 1 + b = b (2). Тогда:
• 1) 1 + 1 = 1 -  по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.
• 2) 1 + b = (b) = (1 + b) - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + b = (а + b) при а = 1.
• Итак, 1 принадлежит множеству М.
• Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и  а содержится в М, т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:
• а + b = (а + b).

• Так как по предположению число  а + b  определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число   (а + b). Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:
• 1)  а+  1  = (а +  1 ) = (а) .
• 2)  а + b = (а + b) = ((а + b)) = (а + b).
• Итак, показали, что множество  М  содержит 1 и вместе с каждым число  а  содержит и число  а.  По аксиоме 4 заключаем, что множество  М  есть множество натуральных чисел.
• Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных  чисел  а  и  b  однозначно найти такое натуральное число  а + b , что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении сложения.

m ((AB)C) = m (A(BC)) Пусть даны К конечных множеств, причем никакие два из них не имеют общих элементов: тогда, если а 1  = m (A 1 ), a 2  = m (A 2 )…a k  = m (A k ), то a 1  + a 2  + …+ a k  = m (A 1   A 2   …  A k ). " width="640"

• Основные законы сложения целых неотрицательных чисел
• 1. Коммутативный закон: (а,b  Z 0 ◦) [a + b = b + a]
• Пусть, а = m (A), b = m (B), A B = Ø.
• Так как на множестве всех множеств справедлив коммутативный закон операции объединения: АВ =ВA, а равные множества имеют равные численности, то m (AB) = т(BA).
• Тогда: 
• 2. Ассоциативный закон: (а,b, c Î Z 0 ) [(a + b) + c = a + (b + c)]
• Доказательство опирается на свойство ассоциативности объединения множеств:
• (A B)C = A(BC) = m ((AB)C) = m (A(BC))
• Пусть даны К конечных множеств, причем никакие два из них не имеют общих элементов: тогда, если а 1  = m (A 1 ), a 2  = m (A 2 )…a k  = m (A k ), то a 1  + a 2  + …+ a k  = m (A 1   A 2   …  A k ).

• Спасибо за внимание!