Презентация педагогического проекта по теме: “Методы решения уравнений четвертой степени”

Методы решения уравнений четвёртой степени

Выполнила Чурина Елена Вениаминовна, учитель математики первой квалификационной категории

МБОУСОШ №1 г. Южи

Актуальность - Как все знают, в математике одна из важнейших вещей- это уравнения. Чаще всего решаются линейные либо квадратные уравнения, но не мало важны уравнения 4 степени, которые решить сможет не каждый. Чтобы решать такие уравнения было проще, нужно выбрать тот способ, который тебе более понятен.

Задания с уравнениями высших степеней есть в контрольных измерительных материалах при проведении государственной итоговой аттестации. Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.

Цель работы: узнать и разобрать методы решения уравнений 4-й степени.

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

1) Изучить литературу по истории приемов решения уравнений 4-й стпени

2)Обобщить накопленные знания об уравнениях4-й степени и способах их решения.

3) Сделать выводы.

4)Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению уравнений 4-й степени с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

.

Я выдвинула следующую гипотезу:

существует универсальный способ для решения всех видов уравнений 4-степеней.

В первой главе я рассмотрела теоретическую составляющую данного вопроса, а именно определение и теорему Виета для уравнения четвертой степени.

Уравнение четвёртой степени —алгебраическое уравнение вида:

при этом a ≠0 и где a , b , c , d , e - любые числа.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Способы

решения уравнения четвертой степени

Метод Феррари

На первом этапе  уравнения 4-й степни приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

       На втором этапе  полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Решение уравнений по схеме Горнера

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена.

Схема Горнера является простым

алгоритмом для деления многочлена .

Разложение на множители Кубическая резольвента

Резольвента алгебраического уравнения  - это алгебраическое уравнение  с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов  данного уравнения и такое, что знание корней этого уравнения позволяет решить исходное уравнение путём решения более простых уравнений (то есть таких, что их степень не больше степени данного уравнения).

Выделение полного квадрата

Этот метод основан на использовании формул: 

а 2 -b 2 =( а -b)(а+b) a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2

а 3 + b 3 =(а+ b )(а 2 -а b + b 2 ) а 3 - b 3 =(а- b )(а 2 +а b + b 2 ) (а+ b ) 3 =а 3 +3а 2 b +3а b 2 + b 3

(а- b ) 3 = а 3 -3а 2 b +3а b 2 - b 3 ,

Биквадратные уравнения. Способ замены

y.

Способ группировки

Способом группировки можно решить уравнение 4 степени.

Чтобы разложить уравнение на множители, надо сгруппировать слагаемые по парам. Мы должны сгруппировать слагаемые по парам таким образом, чтобы при вынесении общего множителя за скобки у слагаемых был одинаковый множитель.

Решим на примере.

2х 4 -5х 3 -2х 2 +5х=0

(2х 4 -5х 3 )+( -2х 2 +5х)=0

х 3 (2х-5)-х(2х-5)=0

(2х-5)(х 3 -х)=0

х(2х-5)(х 2 -1)=0

х(2х-5)(х-1)(х+1)=0

х=0 или 2х-5=0 или х-1=0 или х+1=0

х 1 =0 х 2 =2,5 х 3 =1 х 4 =-1

Ответ: 0; 2,5; 1; -1.

По свободному члену (теорема Безу)

Решить уравнение

Графический способ

Пример: (материал взят из ОГЭ 2016г.)

x 4 =(3x-10) 2

Решение №3: x 4 =(3x-10) 2

1) Рассмотрим две функции: у = х 4 и у =(3х-10) 2 .

2) Построим график функции у = х 4 - график парабола ветви направлены вверх.

3) Построим график линейной функции у = (3х-10) 2 . Это парабола ветви, которой направлены вверх.

4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).

Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.

Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества .

Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений 4-й степени.

№ 1 Решите уравнения способом замены: , б) X 4 -2 x 2 -8=0,

в) x 4 -8 x 2 -9=0, г) x 4 -7 x 2 +12=0, д) 3 x 4 -13 x 2 +4=0, е) 2 x 4 -19 x 2 +9=0,

ж) 3 x 4 -13 x 2 +4=0, з) ( x 2 +4 x )( x 2 +4 x -17)=60=0, и) ( x 2 -5 x )( x 2 -5 x +10)+24=0,

к)( x 2 -3 x ) 2 -2( x 2 -3 x )=8, л) ( x 2 + x ) 2 -11( x 2 + x )=12.

№ 2 Решите уравнения, раскладывая левую часть на множители способом группировки:

а) 2 x 4 -5 x 3 +2 x 2 -5 x =0,

б) 6 x 4 -3 x 3 +12 x 2 -6 x =0,

в) 2 x 4 +3 x 3 -8 x 2 -12 x =0,

г) 2 x 4 -5 x 3 -18 x 2 +45 x =0.

№ 3 Решите уравнения по свободному члену

а) 2 x 4  – 3 x 3  – 7 x 2  –15 x  + 50 =0 б)х 4 -4х 2 +3х+2=0

в) х 4 +2х 3 -7х 2 -8х+12=0

Выводы:

• 1. Уравнения высших степеней решали еще более 500 тыс. лет назад.
• 2. Есть много способов решения уравнений 4-й степеней. Некоторые из них довольно сложные, а некоторые помогут быстро решить задания на ОГЭ.
• 3. Уравнения 4-й степеней играют немалую роль в развитии математики. Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Эти методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они всё равно могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

В ходе работы я разобрала 8 способов решения уравнений 4 степени. Но это далеко не все способы решения таких уравнений. Я доказала свою гипотезу. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари.

Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Источники:

Алгебра. 9 класс:учебник для общеобразовательных организаций / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 4-е издание – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046396-6.

• . М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.
•   В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин, А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» - Москва «Лист», 1998.

•   Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие - Саратов «Лицей», 2003.
•   М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» - Арзамас, 2003.
• А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» - М.:Наука, 1975.
• Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» - М.: Просвящение, 1995.
•   И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.
• 10. https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/
• 11. http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html
• 12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_четвёртой_степени