Презентация по алгебре 9 класс по теме "Математическое моделирование"

Приемы обучения решению задач на движение (№21, 9 класс ОГЭ)

Задачи на движение по кругу

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А, и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы 30 км. Ответ дайте в км/ч.

30

10

10

A

V

S

t

40

2

y

B

y

B

60

3

x

10

1

M

x

6

C

60

C

D

B

y

1

2

1

y

30

x

y

2

=

60

3

6

1

x

y

1

30

M

-

=

30

y

1

2

x

2

60

2

S=Vt

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А, и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы 30 км. Ответ дайте в км/ч.

2 y=1х |:2 y=1 х

3 6 3 4

1х-1y=30

2 2

Подставим вместо y во второе уравнение

1 х-1*1 х=30|*8

2 2 4

4х-х=240

3х=240

Х=80

Ответ:80 км/ч.

Задача :  Два бегуна одновременно стартовали  в одном направлении из одного и того же места круговой трассы  в беге на несколько кругов. Спустя один час , когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга , ему сообщили , что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна , если известно, что она на 9 км/час меньше скорости второго.

Решение : Обозначим скорость первого бегуна за х+9 км/час, тогда скорость второго бегуна х км/час. Чтобы найти расстояние надо скорость умножить на время. Первый бегун  бежал 57 мин = 57/60 часа , а второй  бегун 1 час . Расстояние первого бегуна 57/60(х +9) км , а расстояние второго бегуна х·1 км .Так как  второй бегун пробежал на 8 км меньше , учитывая это условие составим уравнение  57/60(х+9)=х·1+8  и решим его. Раскроем скобки 57/60х + 171/20 = х+8 . Дальше числа перенесем  в левую часть уравнения 171/20-8=х-57/60х далее получим 3/60х=11/20 , а теперь х=11/20:3/60 и наконец х=11 км.

• Ответ 11 км/час скорость первого бегуна .

Еще пример

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 40 мин он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 20 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 40 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояния.

Пусть скорость велосипедиста будет х, а велосипедиста y. До момента первой встречи велосипедист был в пути 60 мин, а мотоциклист-20мин. При этом они проехали равные расстояния: 60х=20y (1)

Между встречами велосипедист проехал расстояние 40х, а мотоциклист – 40y. Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше это видно из рисунка

Надеюсь, вы понимаете, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит, 40х+50=40y (2)

Полученные уравнения решаем в системе:

60 х = 20y y=3х

4х +5y= 12х х = 5 = о,625 км/мин=37,5 км/ч

40х+ 50 = 40y 4х+5 =4y 8

• Ответ: 37,5 км/ч

Движение с течением

Одни из самых простых задач –  задачи на движение по реке . Вся их суть в следующем:

если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;

если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример:

Катер плыл из пункта А в пункт В 5 ч, а обратно – 3 ч. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 50 км/ч

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами, как АВ, а скорость течения – как х. данные внесем в таблицу.

A-B (против течения)

S

В-А (по течению)

V

АВ

t

50-х

АВ

5

50+х

3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

A→B: 50−x=AB:5 

5(50−x)=3(50+x) ⇒ x=12,5 (кмч)

B→A: 50+x=AB:3 

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково. Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

S=v⋅t

Часто приходится использовать и формулу для времени:

t=S/v

Пример:

Против течения лодка проплывает расстояние в 3 км на 1 час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

Решение:

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на 1 час больше, чем время по течению. Это записывается так:

tпротив=tпо+1 Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

3 = 3 +1 Получили обычное рациональное уравнение.

(х-2) (х+2)

(х+2)(х-2)+3(х-2)-3(х+2) = 0 х²-16 =0 х=4 х=-4 (х+2)(х-2) (х+2)(х-2)

Скорость не может быть отрицательным числом, значит ответ 4км/ч

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;

разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример:

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 40 км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами 100 км?

Решение:

• I способ.
• Относительная скорость автомобилей 60+40=100 км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью 100 км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние 100 км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:
• t=100/100=1час=60 минут

II способ.

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его t. Тогда первый автомобиль проехал путь 60t, а второй – 40t.

В сумме они проехали все 100. Значит,

60t+40t=100⇒ t=1час=60минут.

Спасибо за внимание