Презентация по алгебре на тему " Извлечение квадратного корня из числа без калькулятора"

МБОУ «Истоминская ООШ» Балахнинского района

Районное научное общество учащихся «Эврика»

Секция:математика

Раздел:алгебра

Извлечение квадратных корней из чисел без калькулятора

Выполнила: Ряхина Елена

ученица 8 класса

Научный руководитель:

Елфимова Светлана Владимировна,

учитель математики

Цель работы :

найти рациональный способ извлечения квадратного корня из чисел без калькулятора и таблицы, который можно использовать на уроках и ОГЭ, ЕГЭ.

Задачи:

1.Узнать историю квадратного корня.

2.Изучить различные способы извлечения квадратного корня из чисел

без калькулятора и таблицы квадратов.

3.Научиться применить эти способы для извлечения квадратных корней

из чисел без калькулятора и таблицы квадратов.

4.Проанализировать и отобрать самые рациональные способы

извлечения квадратного корня из чисел без калькулятора и таблицы

квадратов для практического применения.

5.Провести анкетирование среди учащихся своего класса

6.Сделать выводы по проделанной работе.

7.Провести мастер-класс для своих одноклассников .

Объект исследования : математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней из чисел

без калькулятора.

Гипотеза: Существуют рациональные способы извлечения квадратных корней

из чисел без калькулятора, которые можно использовать на уроках и ГИА.

Методы исследования: изучение литературы и интернет – источников, анализ,

сравнение, обобщение полученной информации, социологический опрос.

Определение квадратного корня из числа:

= b , b≥ 0, b 2 = a

История возникновения знака корня

Знак корня от латинской буквы r (radix - корень ) Отсюда пошел термин «радикал»,

которым называют знак корня

История возникновения знака корня

Впервые обозначение √ ввел немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году, который был автором учебника алгебры «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»

История возникновения знака корня

Рене Декарт (1596-1650) ввел черту вместо скобок

Va + b

Теорема о последней цифре

квадрата числа

Если числа, оканчивающиеся цифрами от 1 до 9, возвести в квадрат, то в результате может получиться число, которое может оканчиваться цифрами:

… 1 2 =…1 , …2 2 =…4, …3 2 =…9, …4 2 =…6, …5 2 =…5, …6 2 =…6,

… 7 2 =…9, …8 2 =…4, …9 2 =…1

Если число, записанное под корнем, оканчивается цифрами 2,3,7,8, то квадратный корень из него не является натуральным числом.

Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Не всегда легко можно разложить, занимает много времени .

Метод вычетов нечётного числа

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 12 = 1

1 + 3 = 22 = 4

1 + 3 + 5 = 32 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16 и т.д.

Суть метода: из подкоренного выражения нужно последовательно вычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0 и посчитать количество вычитаний. Например, посчитаем:

Пример:

256-1, 255-3, 252-5, 247-7, 240-9, 231-11, 220-13, 207-15, 192-17, 175-19, 156-21, 135-23, 112-25, 87-27, 60-29, 31-31

Общее количество вычитаний равно 16.

Способ отбрасывание полного квадрата

Извлечение корней до числа 75 2 =5625

Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что и данное число(одной или двумя)

Извлечение корней после 75 2 =5625

Этот способ плох, так как применим только для четырёхзначного числа, и имеет 2 алгоритма

Извлечение уголком

7056, значит Ответ: = 84. " width="640"

Метод подбора ( метод оценки)

Извлечь

Шаг №1- ограничений корней

6400 2 2 , 80

Шаг №2 – «отсев» лишних корней.

Значением корня будет число, которое оканчивается цифрами 4 или 6.

Шаг №3- финальные вычисления.

85 2 = 7225, 7225 7056, значит

Ответ: = 84.

Социологический опрос

Социологический опрос среди обучающихся 8-9 классов.

Всего в анкетировании приняли 23 человека.

Мои исследования

Способ разложения на простые множители

529

2304

Плюсы

7396

Метод не сложный, понятный

Минусы

Надо знать признак делимости на 23

167281

Надо знать признак делимости на 43

Надо знать признак делимости на 409

Мои исследования

Метод вычетов нечётного числа

529

Плюсы

529-1=528;528-3=525;

525-5=520;520-7=513;

513-9=504;504-11=493;

493-13=480;480-15=465;

465-17=448;448-19=429;

429-21=408;408-23=385;

385-25=360;360-27=333;

333-29=304;304-31=273;

273-33=240;240-35=205;

205-37=168;168-39=129;

129-41=88;88-43=45;

45-45=0 Вычетов 23.

Ответ 23

2304

Минусы

Понятный, простой в использовании .

Алгоритм тот же

7396

Занимает очень много времени

Алгоритм тот же

167281

Алгоритм тот же

Мои исследования

Метод отбрасывания полного квадрата

529

Плюсы

2304

Минусы

7396

167281

Применить нельзя

Метод достаточно понятен, компактная запись .

Знать значения таблицы квадратов, сложен в запоминании алгоритма

Метод достаточно понятен, компактная запись

Знать значения таблицы квадратов, сложен в запоминании алгоритма

Применить нельзя

Мои исследования

Извлечение квадратного корня уголком

529

2304

Плюсы

7396

167281

Очень точный, применим к любым числам, занимает мало времени. Компактная запись.

Минусы

Требует логики , хороших вычислительных навыков,

трудный для первоначального восприятия,

требует запоминания алгоритма.

Мои исследования

Метод подбора ( метод оценки)

529

Плюсы

2304

Минусы

Точный, понятный, применим к любым числам

Трудоёмкий.

Точный, понятный, применим к любым числам

Трудоёмкий.

Мои исследования

Метод подбора ( метод оценки)

7396

Плюсы

167281

Минусы

Точный, понятный, применим к любым числам

Трудоёмкий.

Точный, понятный, применим к любым числам

Трудоёмкий.

Заключение

В ходе исследовательской работы удалось подтвердить гипотезу, что существуют рациональные способы извлечения квадратных корней из натуральных чисел без калькулятора, которые можно использовать на уроках и ГИА.

В ходе работы найден рациональный способ извлечения квадратного корня из натурального числа уголком.

Проведенные исследования подтвердили, что извлечь квадратный корень из любого натурального числа можно, используя метод вычетов нечётного числа, извлечения квадратного корня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки). Метод отбрасывания полного квадрата применим только для четырехзначных чисел. Не всегда можно воспользоваться способом разложения на простые множители.

Материал работы можно использовать на уроках математики, физики, ОГЭ и ЕГЭ.

Список литературы

• Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.
• Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
• И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
• Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
• Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.–М.:Просвещение,1987
• Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакцияфизико- математическойлитературы, 1979