Презентация по алгебре на тему "Теорема Виета"

Проблема

Решите уравнение

х 2 – 2013х + 2012 = 0

Задания для исследовательской работы:

Уравнение

х 2 + рх + q=0

p

Сумма корней

q

Корни

Произведение корней

5

6

а) х 2 + 6х + 5 = 0

- 6

5

х 1 = -1, х 2 = -5

- 1

- 12

1

- 12

б) х 2 – х – 12 = 0

х 1 = 4, х 2 = -3

6

х 1 = -3, х 2 = -2

- 5

6

в) х 2 + 5х + 6 = 0

5

г) х 2 + 3х – 10 = 0

- 10

х 1 = -5, х 2 = 2

3

- 3

- 10

х 1 = -1, х 2 = 9

- 9

- 8

8

- 9

д) х 2 – 8х – 9 = 0

14

14

е) х 2 – 15х+14 = 0

-15

х 1 = 1, х 2 = 14

15

3

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком , а произведение корней равно свободному члену

х 2 + р х + q = 0,

х 1 +х 2 = -р ,

х 1 • х 2 = q .

Доказательство рассмотреть по учебнику стр.121

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов

приведенного квадратного уравнения с его корнями , была

обнародована в 1591 г. Теперь она носит имя ВИЕТА .

4

Франсуа Виет

• Виет Франсуа (1540-1603) - французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. За это новшество его стали называть «отцом алгебры». Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.

Теорема, обратная теорема Виета

Если x 1 и x 2 таковы, что

x 1  x 2  p , x 1 x 2  q ,

то x 1 и x 2 – являются корнями

квадратного уравнения

х 2  p х   q   0 .

Для чего нужна теорема Виета?

1 . Находить подбором корни квадратного уравнения.

2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение .

практическое

значение

3. Находить сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его.

4. Не решая квадратное уравнение определять

верно ли найдены его корни

5. Определять знаки корней уравнения.

Найдите сумму и произведение корней квадратных уравнений

1) х 2 – 37х + 27 = 0 2) у 2 + 41у – 371 = 0 3) х 2 – 210х = 0 4) у 2 – 19 = 0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

2. Проверьте с помощью теоремы Виета: верно ли найдены корни квадратного уравнения.

• а) х 2 – 15х – 16 = 0 б) х 2 – 3х - 28 = 0
• х 1 = - 1; х 2 = 16. х 1 = 7; х 2 = -4.

• г) х 2 + 12х + 20 = 0,

• х 1 = - 2; х 2 = -10 х 1 = 1; х 2 = 8

в) х 2 - 9х + 8 = 0,

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Составьте квадратное уравнение

3 и 5

х 2 – 8х + 15 = 0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Составьте квадратное уравнение .

-3 и 5

х 2 -2х-15=0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Составьте квадратное уравнение .

3 и -5

Х 2 +2х-15=0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Составьте квадратное уравнение .

-3 и –5

z 2 + 8z + 15 = 0

х 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = - p

x 1 • x 2 = q

Найдите подбором корни уравнения:

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

• Если х 1 и х 2  - корни квадратного уравнения  ах 2 +вх+с=0 , то их сумма равна -в/а , а, произведение с/а.

• То есть х 1 +х 2 = -в/а , х 1 · х 2 = с/а.

Решите уравнение

х 2 – 2013х + 2012 = 0

х 1 = 1; х 2 = 2012

Домашнее задание

п.23, №329 (2), 330 (2), 332 (1,4), 333 (2,4).

Творческое задание :

Доказать, что если в квадратном уравнении

ах 2 + bx +c=0:

1) а + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 =