ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : «Математика» на тему: «Понятие предела для последовательностей и функций"

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ» ПРЕЗЕНТАЦИЯ по дисциплине : « Математика » на тему: « Понятие предела для последовательностей и функций » Разработал преподаватель математики ГОУ СПО «ДТЭ и КТ» Демьянова Светлана Васильевна г. Днестровск , 2019 г.

Числовая последовательность

1 2 3 4 … n …

-аргумент

2 4 8 16 … 2 ⁿ…

-члены последовательности

а 1 а 2 а 3 а 4 … а n …

: 1/2, 1/3, 1/4, ….

Предел числовой последовательности

a 1

a 3

a 2

a 4

1

1 /2

1 /3

1 /4

0

Предел функции

• Предел функции в точке (по Гейне)

у

у=х+1

3

2

1

0

1

2

3

х

= А

• Предел функции в точке (по Коши)

• Односторонние пределы

- справа

у

- слева

1

х

-1

Бесконечные пределы

у

А

y=f(x)

х

у

А

y=f(x)

х

y

y=f(x)

x 0

x

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

- бесконечно малая при

, если

- бесконечно большая при

, если

у

y=x²

х

0

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций

- бесконечно малая при

и

Если

в некоторой окрестности точки х 0 , то

является бесконечно большой при

функция

- бесконечно большая при

Если

является бесконечно малой при

то функция

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α (х) и β (х) – бесконечно малые при х→х 0 функции и

• А ≠ 0, А ≠ 1: α и β – бесконечно малые одинакового порядка;

• А=0: α – более высокого порядка малости,
• А= ±∞ : β – более высокого порядка малости;
• А=1: α и β – эквивалентные бесконечно малые, α ~ β .

Свойства эквивалентных бесконечно малых

1. α ~ β ↔ β ~ α (рефлексивность)

2. α ~ β , β ~ γ ↔ α ~ γ (транзитивность)

3. α ~ β → α = β +o( α ) ( эквивалентные бесконечно малые отличаются друг от друга на бесконечно малую высшего порядка ).

4. Под знаком предела в отношении или произведении бесконечно малые можно заменять эквивалентными.

Основные теоремы о пределах

• О пределе постоянной.
• О единственности предела.

Необходимые условия существования конечного предела :

3. О локальной ограниченности.

4. О локальном повторении функцией свойств предела.

Достаточные условия существования конечного предела :

5. Об арифметике.

6. О промежуточной функции.

7. О пределе монотонной ограниченной функции.

• Теорема о промежуточной функции

(«о двух милиционерах»)

h

f

g

х 0

Замечательные пределы

• Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге (в радианах) равен 1 :

Следствия :

• Числовая последовательность

имеет конечный предел, равный е:

Следствия :