Презентация по геометрии на тему : "Решение задач на построение методом подобных треугольников"

• Решение задач на построение методом подобных треугольников

- Что называется отношением двух отрезков?

- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 ?

- Дайте определение подобных треугольников.

- Сформулируйте признаки подобия треугольников.

- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

A D

B

- Найдите BD ?

C

- Выразите из равенства DC ?

- Постройте угол равный данному - Постройте медиану AM ΔABC -Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C

B

A

C

-В чем заключается метод построения фигур методом подобия?

- Сколько и какие этапы включают в себя задачи на построения?

• Задача 1. Построить треугольник ABC по углу A,отношению сторон AB : AC = 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.

Дано: ∠A= OC=m AB : AC = 2 : 1 Построить: ΔABC

m

Построение: а) Построить угол A, равный ∝. б) На сторонах угла A отложить отрезки AC 1 и AB 1 так, что AB 1 : AC 1 = 2 : 1. в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB 1 C 1 - точку O 1 . г) На луче O 1 C 1 отложить отрезок O 1 E, равный m. д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM 1 треугольника AB 1 C 1 C = EC ∩ AC 1 . е) Через точку C провести прямую CB, параллельную C 1 B 1 , CB∩AB 1 = B. Треугольник ABC – искомый.

B

B

1

K

M

O

K

1

O

M

1

1

C

С 1

A

E

Доказательство: а) В треугольнике ABC ∠A = ∝. б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC ~ ΔAB 1 C 1 по двум углам → так как AB 1 :AC 1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1. в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B 1 M 1 = M 1 C 1 , то BM = MC (ΔAB 1 M 1 ~ΔABM,ΔAM 1 C 1 ~ΔAMC). г) OC = m, так как O 1 E = m, а O 1 OCE параллелограмм по построению. Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый.

B

B

1

K

M

O

K

1

O

M

1

1

A

C

С 1

E

• Задача 2 (№ 588)

Постройте треугольник ABC по углу A и медиане AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.

Дано: ∠A = ∝, AM = m, AB : AC = 2 : 3. Построить: ΔABC

m

Построение:

а) Построить ∠A = ∝

б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN

в) Найти середину NF

г) На луче AO - отрезок AM = m

д) Через M строим прямую l параллельную NF

е) l ∩ AF = C, l ∩ AN = B.

Треугольник ABC – искомый.

B

N

M

O

C

A

F

Доказательство: а) ΔANF ~ΔABC, (∠A – общий ,∠ABC = ∠ANF при NF || BC и секущей AB) б) NO = OF (по построению) в) BM = MC , т.е. AM – медиана. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

B

N

M

O

C

A

F

• Задача 3 (№589) Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1.

Дано: ∠A = ∝, BC = m, AB : AC = 2 : 1 Построить: ΔABC

m

Построение: а) ∠A = ∝ б) AB 1 = 2 PQ в) AC 1 = PQ г) C 1 B 2 = M д) Через точку B 2 проведем прямую, параллельную AC 1 , BB 2 || AC 1 е) Через точку B проведем прямую, параллельную С 1 B 1 , BC ||B 2 C 1 Δ ABC - искомый.

P

Q

C

C 1

B 1

A

B

B 2

Доказательство: 1) ∠ A = 2)т.к. BC || B 2 C 1 и B 2 B || C 1 C, то четырехугольник BCC 1 B 2 – параллелограмм, и поэтому BC = C 1 B 2 , а значит, сторона BC треугольника ABC равна данному отрезку 3) т. к. BC || B 1 C 1 , ТО AB/AC = AB 1 /AC 1 = 2/1. Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

C

C 1

A

B 1

B

B 2

• Задача 4.

Постройте отрезок a= , если отрезки m и n известны.

Дано:

n

m

Построить: отрезок a

Решение:

= = – m

В прямоугольном треугольнике ABC BD- высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD = , следовательно, : AD = DK = CD – CK. Если CK = m, то DK =

Построение: а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n. б) Провести прямую BC так, что BC⏊AB. в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m г) DK – искомый отрезок. Задача не имеет решения, если m

A

n

B

D

m

K

m

C