Презентация по геометрии "Площади фигур" (9 класс)

«Площадь фигур»

Что такое площадь: определение

• Площадь фигуры - это часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой или ломаной линией. Обозначается эта величина буквой S .
• У разных фигур разные формулы для нахождения их площади.

Прямоугольник

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

Треугольник

• Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Прямоугольный треугольник

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Равнобедренный треугольник

• Площадь равнобедренного треугольника равняется произведению высоты на половину длины основания.

Трапеция

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Параллелограмм

• Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты опущенной на это основание.

Практическая часть

Квадрат

Задание № 1

Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

Решение: Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому она равна 100.

Ответ: 100.

Задание № 2 Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата.

Решение: Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Таким образом, сторона квадрата равна 10. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому она равна 100. Ответ: 100.

Задание № 3 Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь квадрата.

Решение: Все стороны квадрата равны, поэтому сторона длинны стороны квадрата равна 160/4 = 40. Найдем площадь квадрата как квадрат его стороны: S=40*40=1600.

Ответ: 1600.

Прямоугольник

Задание №1

В прямоугольнике одна сторона равна 10, ругая сторона 12. Найдите площадь прямоугольника.

Решение: Площадь треугольника равна произведению его смежных сторон, поэтому она равна 120.

Ответ: 120.

Задание №2

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58 и одна сторона на 5 больше другой.

Решение: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x — меньшая сто­ро­на прямоугольника, тогда другая сторона равна х+5.  Следовательно, периметр прямоугольника равен 2*(х+х+5)=58

 откуда 4х=48, следовательно х=12.

Поэтому площадь прямоугольника равна 12*(12+5)=204.

Ответ: 204.

Задание №3.

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

Решение: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x — меньшая сторона прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен 2*(х+(х+2))=44, откуда 2х=22-2, следовательно х=10. Поэтому площадь прямоугольника равна 10*12=120.

Ответ: 120.

Прямоугольный треугольник

Задание №1.

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Таким образом: S=1/2*4*9=18. 

Ответ:  18.

Задание №2.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение: Так как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник является равнобедренным. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом:

S=1/2*10*10=50.

Ответ: 50.

Задание № 3.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение: Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому второй острый угол равен 180° − 90° − 45° = 45°. Оба острых угла равны, следовательно, данный треугольник — равнобедренный, откуда получаем, что второй катет равен 4. Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

S=1/2*4*4=8.

Ответ: 8.

Равнобедренный треугольник

Задание №1.

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

Решение: Так как боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, его основание равно 6, а полупериметр: 16/2=8, по формуле Герона имеем:

Ответ: 12.

Задание №2.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: Пусть  а — длина основания равнобедренного треугольника,  b — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, h  — высота, проведенная к основанию . Высота равнобедренного треугольника, проедённая к основанию, также является его биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме Пифагора:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S=1/2*ah=1/2*60*16=480

Ответ: 480.

Задание № 3.

Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.

Решение: Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, поэтому длина основания равна 216 − 78 − 78 = 60. Высота  проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его биссектрисой и медианой, поэтому (см. рис.) имеем:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S=1/2*60*72=2160.

Ответ: 2160.

Трапеция

Задание №1.

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

S=(1/2*(7+9+12))*12=168

Ответ: 168.

Задание №2.

Найдите площадь трапеции, изображённой

на рисунке.

Решение: Площадь трапеции вычисляется по формуле S= ((a+b)/2)*h, где a и b – основания, а h – высота трапеции.

S=((5+7+15)/2)*24=324.

Ответ: 324.

Задание №3.

Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Ответ: 88.

Треугольники общего вида

Задание №1.

В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

Решение: Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание.

Таким образом: S=1/2*10*5=25

Ответ: 25.

Задание №2.

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение: Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту:

S=1/2*a*h=1/2*(32+10)*24=504.

Ответ: 504.

Задание №3.

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: Площадь треугольника равна полупроизведению стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

 S=1/2*12*33=198

Ответ: 198.

Параллелограмм

Задание №1.

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение: Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:

S=(3+7)*4=40

Ответ: 40.

Задание №2.

Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6.

Найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

½*8*6=24

Ответ: 24.

Задание №3.

Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Решение: Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, сторона ромба равна 10. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними. Таким образом,

S=10*10*1/2=50

Ответ:  50.

Задания для самостоятельной проверки знаний

№ 1. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

№ 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

№ 3. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

№ 4. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

№ 5. В прямоугольнике одна сторона равна 96, а диагональ равна 100. Найдите площадь прямоугольника.

№ 6. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

№ 7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

№ 8. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

№ 9. В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

№ 10. Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

№ 11. Радиус круга равен 3, а длина ограничивающей его окружности равна 6π. Найдите площадь круга. В ответ запишите площадь, деленную на π.