Презентация по геометрии "Теорема Менелая и ее применение при решении задач"

Теорема Менелая и ее применение при решении задач (подготовка к ЕГЭ)

Методическая разработка

Рудаковой Татьяны Викторовны

Учителя математики МБОУ «Гимназия № 2»

г. Курчатова Курской области

Содержание

• Теоретические факты:

а) пропорциональные отрезки в треугольниках

б) отношение площадей треугольников.

• Теорема Менелая.

• Применение теоремы для решения задач.

Теоретические факты

Теоремы об отношении площадей треугольников

Теорема Фалеса

1. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, содержащих эти углы

Параллельные прямые пересекая стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.

С´

В´

В

А´

О

С

В

А

К

С

А

М

Теоремы об отношении площадей треугольников

3.Отношение площадей треугольников,

2. Пусть ∆АВС и ∆АВD имеют общую сторону АВ. Тогда отношение их площадей равно отношению высот, проведенных из вершин С и D.

имеющих равные высоты равно

отношению оснований:

S(∆АВС) : S(АВD) = СР:DQ.

S(∆АВС) : S(АВD) =AC:АD.

В

С

D

D

С

P

А

Q

А

В

P

Задача.(Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2014.ЗадачаС4.№6.3) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.

Решение

• Проведем ВР параллельно КМ.

• По теореме Фалеса для угла NАК:

• По теореме Фалеса для угла ВСР:

4. Итак, z=4d , тогда АN= 6z=24d , значит СN:АN=5:24.

Ответ: 5:24

С

N

5d

N

5х

z

4d

Р

М

5z

4х

К

4x

у

В

5у

А

Предложенный вариант решения задачи – один из традиционных, без применения теоремы Менелая.

Рассмотрим другой (более рациональный) способ решения, применяя указанную теорему

Теорема Менелая

Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC ∆ABC взяты соответственно точки С´, А´ и В´, не совпадающие с вершинами ∆ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Для дальнейшего решения задач воспользуемся необходимым условием данной теоремы.

Теорема Менелая

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС треугольника АВС за точку С отмечены соответственно точки А´, С´,В´, лежащие на одной прямой, то

В

С´

А´

В´

С

А

3

Доказательство

• Проведем СК //АВ, тогда ∆СКВ´ ~ ∆ АС´В´ , поэтому

СК =

2. ∆ СКА´ ~ ∆ВС´А´ , поэтому

3. Подставляя СК из п.1, имеем

В

С´

А´

К

С

В´

А

Задача. (Р.К.Гордин.Математика.ЕГЭ-2017) На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении стороны АВ за вершину В расположены точки М и К соответственно, причем ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ=1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Найти отношение СN: АN.

Стрелки на рисунке (от точки А) показывают, как легко запомнить последовательность отрезков в пропорции .

Найдем

Ответ:

С

5х

N

M

у

K

4х

В

А

5у

Задача . (Р.К.Гордин. Математика. ЕГЭ-2017.) В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису СD?

Решение:

• Для треугольника ВСD и секущей АК:

• Найдем ДА: =

ДА =

Найти:

Ответ:

3. Найдем :

С

К

О

В

D

А

Задача . (Р. К. Гордин. Математика. ЕГЭ-2017.) В ∆ АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята т.К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК=2:3, а на стороне АС взята т. L, делящая АС в отношенииAL:LС=5:3. Точка Q пересечения прямых СК и ВL отстоит от прямой АВ на расстояние 1,5. Найти сторону АВ.

Решение:

• Для тр. АСК и секущей ВL найдем отношение CQ:QK.

2. Проведем высоту СР. СР// QH.

3. По теореме Фалеса Н – середина РК, тогда QH-средняя линия СРК, значит СР=3.

4. S (АВС) =0,5 АВ•СР, тогда АВ=2S(АВС) :СР=4.

Ответ: АВ = 4.

С

3y

L

Q

5y

Р

В

К

3x

H

2x

А

Задача.( Математика ЕГЭ-2018. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.) На сторонах АВ, ВС и АС ∆АВС взяты соответственно точки К, L и М, причем АК:КВ=2:3, ВL:LС=1:2, СМ:МА=3:1. В каком отношении отрезок КL делит отрезок ВМ?

Решение:

• Для ∆АВС и секущей КL:

2. АР = РС = АС = 4 z = 2 z, значит

=

Найти

3. Для ∆АВМ и секущей КL:

Ответ:

В

у

L

3х

О

2у

К

2х

С

А

Р

М

z

2z

3z

Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. ) В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. а) доказать, что , где М = АЕ ∩ СD, К = СD ∩ ВF, N = АЕ∩ВF. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

• Для ∆АВF и секущей DC:

а) докажем, что

2. Для ∆АЕС и секущей FВ:

3. Для ∆DBC и секущей ЕА аналогично

В

у

Е

2 х

N

2у

D

М

К

х

С

А

F

z

2z

Задача. (Сайт А.А.Ларина. Тренировочный вариант №67. ) В ∆АВС на сторонах АВ, ВС, и СА отложены соответственно отрезки АD =⅓ АВ, ВЕ = ⅓ ВС, СF = ⅓ CА. б) найти, какую часть от площади ∆АВС составляет площадь ∆MNK.

б) Итак,

Тогда

Ответ:

В

E

N

М

М

D

K

К

С

А

F

Заключение Решение задач с помощью теоремы Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Теорема Менелая помогает быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Используемая литература

• ЕГЭ 2017.Математика. . Гордин Р.К. Под ред. Семенова А.Л.2016г.
• Математика. ЕГЭ-2018. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. 2018г.
• http://alexlarin.net/ege/2014/trvar67.html