Презентация по математике: "Поизводная и её применение"

f / (x 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у= f(x) в точке х 0 .

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла , образованного этой прямой с положительным направлением оси ОХ.

K = tg a = f / (x 0 )

Касательная

y

0

х

Механический смысл производной

Δ х – перемещение тела

Δ t – промежуток времени

в течение которого выполнялось

движение

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

ПРОИЗВОДНАЯ –

ОДНО ИЗ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ.

ОНО ВОЗНИКЛО В XVII ВЕКЕ В СВЯЗИ С НЕОБХОДИМОСТЬЮ РЕШЕНИЯ РЯДА ЗАДАЧ ИЗ ФИЗИКИ, МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ, НО В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ ДЛЯ:

• ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ЕЁ ГРАФИКА,
• ДЛЯ ОПЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ТОЧКИ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ t .

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

НЕЗАВИСИМО ДРУГ ОТ ДРУГА

НЬЮТОН И ЛЕЙБНИЦ РАЗРАБОТАЛИ АППАРАТ,КОТОРЫМ МЫ И ПОЛЬЗУЕМСЯ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ.

ИСЧИСЛЕНИЕ, СОЗДАННОЕ УЧЁНЫМИ, ПОЛУЧИЛО НАЗВАНИЕ - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

С ЕГО ПОМОЩЬЮ БЫЛ РЕШЁН ЦЕЛЫЙ РЯД ЗАДАЧ МЕХАНИКИ, ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ. ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОДЫ ЭТОГО ИСЧИСЛЕНИЯ, УЧЁНЫЕ ПРЕДСКАЗАЛИ ВОЗВРАЩЕНИЕ КОМЕТЫ ГАЛЛЕЯ, ЧТО БЫЛО БОЛЬШИМ ТРИУМФОМ НАУКИ XVII ВЕКА.

ЛАГРАНЖ, ЖОЗЕФ ЛУИ

(1736–1813), французский математик и механик. Родился 25 января 1736 в Турине. Учился в Туринском университете. В 19 лет стал профессором геометрии в Артиллерийской школе Турина.

Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной

(с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение(два штриха) также ввёл Лагранж.

Исаак Ньютон (1643-1727) — английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории. Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой , т.е. текущей величиной, производную же – флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики.

Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц(1646-1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед.

Важнейшие научные достижения:

Лейбниц создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление.

Он создал комбинаторику как науку.

Он заложил основы математической логики.

Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.

Первым ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии.

Выдвинул в психологии понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

Работа на доске

Координата тела меняется по закону

X = 5 - 3t + 2t 2 ( м).

Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды ?

Ответ : 5м/с; 4м/с 2

РАБОТА НА ДОСКЕ

Найти критические точки функции, Точки максимума и минимума:

1. y = 6x - 24x

2. y=x - 3x - 4 3. y=x - 6x + 9x - 5 6

2

2

3

3

2

Ответы : 1. x min=2

2. x max=0, x min=2

3. x max=1, x min=3

ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ

ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ

Y

X

6

Функция у = f ( x ) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 105 изображен график её производной. Укажите число промежутков, на которых у = f’ ( x ) положительна.

Функция f ( x ) определена на промежутке (а;Ь). На рисунке 102 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f ( x ) параллельна оси абсцисс.

ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

І. НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ:

1. y =x 3 + 6x 2 - 15x – 3, y'(1) - ?

2. у = 5x 2 +3х-68, y'(1) - ?, y'(2) - ?

ІІ. НАЙТИ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ, ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА:

1. у =7x 2 -14х+98

2. y = x 3 - 6x 2 -79

ОТВЕТЫ:

Ответы:

І. 1. 0 ІІ. 1. х min =1

2. 13; 23 2. x max =0, x min =4

1… отношения приращения функции f ( x ) к приращению аргумента x ,… называется производной функции в точке х .

2.Экстремальное значение функции.

3.Производная функции f (х) в точке x 0 – есть угловой … касательной , проведенной к графику функции в точке x 0 .

4.Множество точек координатной плоскости ( x ; y ), наглядное изображение функции y= f (x).

5.Раздел математики.

6.Физический смысл производной – … изменения функции.

7.Вид числового промежутка ( … возрастания / убывания функции).

8.Положительный знак второй производной характеризует … функции.

9.Первая из координат точки на плоскости.

10.… константы равна нулю.

11.Первая русская женщина-математик.

12.Научное изучение.

НАЙДИТЕ ОШИБКУ!

Х max= 1 ; Xmin= -4; 3,

функция возрастает от -4 до 0 ,

убывает от 0 до 2.

НАЙДИТЕ ОШИБКУ!

Xmin=2, функция убывает от -∞ до 2, возрастает от 2 до ∞.

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1. НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ:

• y = 16x 2 - 9x, y'(1) - ?
• y = 4 + 25x 2 , y'(2) - ?

2. НАЙТИ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ, ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ, ТОЧКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА.

• y = 18x 2 - 36х
• у = 5x 3 +30x 2 -54

ПРОИЗВОДНАЯ

• МЫСЛЬ - ПРОИЗВОДНАЯ УМА.

• ДЕЙСТВИЕ - ПРОИЗВОДНАЯ ТЕЛА.

• БОРЬБА - ПРОИЗВОДНАЯ НЕНАВИСТИ.

• СОСТРАДАНИЕ - ПРОИЗВОДНАЯ ЛЮБВИ.