Презентация по предмету "Дискретная математика", по теме "Кватернионы"

Кватернионы

Кватернионы

• Система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначается Н. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
• Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.

Кватернионы

Стандартное определение

• Кватернионы можно определить как формальную сумму a+bi+cj+dk , где a,b,c,d – вещественные числа, а i, j, k – мнимые единицы со следующим свойством: i 2 =j 2 =k 2 =ijk=-1.
• Таким образом, таблица умножения  базисных кватернионов – 1, i, j, k – выглядит так:

• Например, ij=k , a ji=-k.

Кватернионы

Как вектор и скаляр

Кватернион представляет собой  пару где - вектор трёхмерного пространства, а - скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

Произведение определяется следующим образом:

Где «.» – обозначает скалярное произведение, а «х» - векторное произведение.

В частности,

Кватернионы

Определения через комплексные числа

• Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде:
• или эквивалентно

• где - комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Кватернионы

Из истории

• Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.
• Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
• Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа  кватернионами . Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.
• Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ(Гиббс, Хевисайд).

Кватернионы

Современное применение

• В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике и теории относительности.
• Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр, а также в вычислительной механике, в инерциальной навигации и теории управления.
• С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике».