Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды
Выполнили: Каторкина Елизавета
Жулина Елизавета
11 «Б» класс
Учитель: Мартынова Екатерина Владимировна
Определение пирамиды и её виды
Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит n-угольник, пирамида называется n-угольной. Она имеет n боковых граней. Пирамида является частным случаем конуса.
Свойства пирамиды
- Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
- Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
- Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
- Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
- Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Формула вычисления объема пирамиды
Объем V пирамиды с высотой, равной h, и основанием, площадь которого равна S, вычисляют по формуле:
Приступим к решению задачи
Найдите высоту пирамиды, объём которой равен 20 см 3 , а площадь основания – 15 см 2 .
Решение:
V= S*h
- Выразим высоту пирамиды из формулы
h =
h = = = 4см
ОТВЕТ: 4см
Дано:
V пирамиды = 20см 3
S осн. = 15см 2
Найти:
h высоту - ?
радиус основания будет равен стороне этого шестиугольника, то есть 5см S 3 = (формула площади прав.треугольника) = S 6 = * 6 = = см 2 3. Найдем высоту пирамиды по обратной т.Пифагора: h = = = =12см 4. Найдем объём пирамиды V = * 12 * = 2 * 75 = 150 см 3 ОТВЕТ: 150 см 3 Дано: Прав.6-ая пирамида CD = 5см(сторона осн.) CG = 13см(бок.ребро) G Найти: V пирамиды - ? F E A D C B " width="640"
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5см, а боковое ребро – 13см. Найдите объём пирамиды.
Решение:
V= S*h
- Т.к. в основании лежит правильный шестиугольник, то его можно разбить на шесть правильных треугольников = радиус основания будет равен стороне этого шестиугольника, то есть 5см
- S 3 = (формула площади прав.треугольника) =
S 6 = * 6 = = см 2
3. Найдем высоту пирамиды по обратной т.Пифагора:
h = = = =12см
4. Найдем объём пирамиды
V = * 12 * = 2 * 75 = 150 см 3
ОТВЕТ: 150 см 3
Дано:
Прав.6-ая пирамида
CD = 5см(сторона осн.)
CG = 13см(бок.ребро)
G
Найти:
V пирамиды - ?
F
E
A
D
C
B
Определение усечённой пирамиды и её виды
Усечённая пирамида — часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В основании находится n – угольник.
Формула вычисления объёма усеченной пирамиды
Объём V усеченной пирамиды с высотой, равной h, и основаниями, площади которых равны S 1 и S 2 , вычисляются по формуле:
A 1 D 1 = = = = 4см 3. Найдём площадь верхнего основания. S 2 =3⋅4=12 (см²). 4. Найдем объём пирамиды V = * 6 * (192 + + 12) = 2 * (204 + ) = 2 * (204 + 48) = 2 * 252 = 504 см 3 ОТВЕТ: 504 см 3 Найти: V усеч.пирамиды - ? " width="640"
Приступим к решению задачи
Основаниями усеченной пирамиды, высота которой равна 6 см, являются прямоугольники. Стороны одного основания равны 12 см и 16 см, а меньшая сторона другого – 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.
Решение:
Дано:
Усечённая пирамида, основаниями которой являются прямоугольники.
- OO 1 Высота — 6 см.
- AD = 16 см
- DC = 12 см
- D 1 C 1 = 3 см
1.Найдём площадь нижнего основания.
S 1 =12*16=192 см²
2. Найдём сторону A1D1
= = A 1 D 1 = = = = 4см
3. Найдём площадь верхнего основания.
S 2 =3⋅4=12 (см²).
4. Найдем объём пирамиды
V = * 6 * (192 + + 12) = 2 * (204 + ) = 2 * (204 + 48) = 2 * 252 = 504 см 3
ОТВЕТ: 504 см 3
Найти:
V усеч.пирамиды - ?
БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!