Презентация по теме: "Понятие о законе больших чисел", 9 класс, вероятность и статистика

Понятие о законе больших чисел

Вероятность и статистика

9 класс

Повторение №267

а) ЕХ = х1*р1 + х2*р2 + х3*р3 + … + xn*pn

в) DX = Е(Х –ЕХ) 2

Закон о больших числах

• Работа с учебником:
• читаем п. 73, стр. 94

Закон о больших числах

• Одно из проявлений закона больших чисел состоит в том, что при многократном повторении одного и того же опыта частоты событий в этом опыте будут близки к их вероятностям

ПРИМЕР 1

• Крупная почтовая компания заключила договор с IT-компанией на обслуживание компьютерной системы. Компьютерная система обширна, она охватывает множество городов, в ней десятки тысяч компьютеров, и нередко случаются сбои и отказы, которые нужно быстро устранить.
• Рассмотрим событие А «сбой устранён менее чем за 8 часов». Будем считать это событие успехом. Оценим неизвестную вероятность p этого события. Каждый отдельный отказ оборудования можно рассматривать как испытание Бернулли. Начнем отчет с какого-то момента.

ПРИМЕР 1

• Известно, что 71,2% отказов из первых 300 были устранены менее чем за 8 часов после сообщения об отказе. Иными словами, в серии из 300 испытаний событие А имеет частоту 0,712. ИЗ следующих 300 сбоев только 49% были устранены менее чем за 8 часов, т.е. во второй серии из 300 испытаний частота успеха равняется 0,49. Но если рассмотреть объединенную серию из 600 испытаний, то в этой серии частота успеха равна:

ПРИМЕР 1

Каждая следующая серия из 300 испытаний вносит свой вклад. Частота события А меняется от серии к серии, но частота в объединённой серии, в которой накапливаются всё новые и новые наблюдения, постепенно стабилизируется.

Связь выборочного среднего и математического ожидания

• Закон больших чисел позволяет нам вместо неизвестных вероятностей событий использовать их частоты, подсчитанные по выборкам объёмов от нескольких сотен до нескольких тысяч наблюдений
• Другое проявление закона больших чисел состоит в том, что вместо неизвестного математического ожидания случайной величины можно использовать среднее значение, полученное по выборке.

Связь выборочного среднего и математического ожидания

• Если мы произведем много измерений случайной величины, то получим набор данных, который является случайной выборкой. Мы найдём среднее арифметическое этого набора (среднее выборочное), и в силу закона больших чисел это среднее значение окажется близко к неизвестному математическому ожиданию.

Среднее значение данных в выборке (среднее выборочное) используется как приближенное значение математического ожидания

Основные Свойства закона больших чисел

• Сходимость: среднее значение выборки стремится к математическому ожиданию. Устойчивость: при большом количестве испытаний среднее значение будет близко к истинному значению, даже если отдельные испытания имеют случайные отклонения.
• Сходимость: среднее значение выборки стремится к математическому ожиданию. Устойчивость: при большом количестве испытаний среднее значение будет близко к истинному значению, даже если отдельные испытания имеют случайные отклонения.
• Сходимость: среднее значение выборки стремится к математическому ожиданию.
• Устойчивость: при большом количестве испытаний среднее значение будет близко к истинному значению, даже если отдельные испытания имеют случайные отклонения.

Применение закона больших чисел: в статистике, экономике, социологии, физике и других науках закон больших чисел используется для анализа данных, прогнозирования результатов и принятия решений.

Пример 2

• Рассмотрим случайную величину «размер горошины определённого сорта». Мы хотим найти её истинное среднее значение, то есть математическое ожидание.
• Мы не знаем распределение, которому подчиняется размер горошин, поскольку мы не можем собрать и измерить все такие горошины. Но мы можем сделать выборку, то есть произвести много измерений и найти среднее арифметическое.
• Возьмем 1000 горошин определённого сорта, измерим диаметр каждой горошины с округлением до 1 мм и занесём в таблицу.

Пример 2

• Среднее арифметическое равно:

• Полученное среднее значение является оценкой математического ожидания случайной величины «диаметр горошины». Чем больше измерений сделано, тем выше точность оценки. Иными словами, закон больших чисел даёт уверенность в том, что величина 6,251 мм близка к среднему диаметру всех горошин этого сорта, выращенных в похожих условиях.

Закрепление

Домашняя работа

• п. 73 на стр. 94 – изучить Ответить письменно на вопросы на стр. 98