Презентация по теме системы счисления.

Системы счисления

7 класс

МБОУ ДСОШ №3

Учитель Галушко Т.Н.

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

А.Н. Стариков

Общие сведения

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.

Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

Древнеславянская система счисления

Узловые и алгоритмические числа

Узловые числа обозначаются цифрами.

Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

 100 +

 10 +

=

Унарная система счисления

Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Узелки, дощечки

Узелковое письмо «кипу»

Примеры узлов «кипу»

Зарубки

Камушки

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами

Непозиционные

В непозиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от её позиции в числе.

Римская

Позиционные

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Непозиционная система счисления

Система счисления называется непозиционной , если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Римская система счисления

1

5

I

V

100

10

C

500

X

50

D

L

1000

M

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:

каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

1935

M

V

I

I

I

V

X

X

28

X

X

X

M

C

X

40

L

=

Римская система счисления

Числа записываются в виде букв латинского алфавита:

• ПРИМЕРЫ:

XCIX =

CDLXXXIV =

DCCXLVIII =

CMIX =

MCMLXIX =

I – 1

V – 5

X – 10

L – 50

C – 100

D - 500

M - 1000

99

484

748

909

1969

Позиционная система счисления

Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.

Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Позиционные системы счисления

Система счисления

Основание

Десятичная

Алфавит цифр

10

Двоичная

2

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Восьмеричная

0,1

8

Шестнадцатеричная

16

0,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Основная формула

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m )

Здесь:

А — число;

q — основание системы счисления;

a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа;

q i — «вес» i -го разряда.

Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Развёрнутая форма

A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m )

Примеры записи чисел в развёрнутой форме:

2012=2  10 3 +0  10 2 +1  10 1 +2  10 0

0,125=1  10 -1 +2  10 -2 +5  10 –3

14351,1=1  10 4 +4  10 3 +3  10 2 +5  10 1 +1  10 0 +1  10 –1

1000 = 10 3

100 = 10 2

10 = 10 1

1 = 10 0

Десятичная

разряды

5555

Свёрнутая форма записи числа

единицы

десятки

тысячи

сотни

Развёрнутая форма записи числа

5555 10 = 5  10 3 + 5  10 2 + 5  10 1 + 5  10 0

Для записи десятичных дробей

5555,55 10 = 5  10 3 + 5  10 2 + 5  10 1 + 5  10 0 + 5  10 -1 + 5  10 -2

Умножение или деление десятичного числа на 10(величину основания) перемещает запятую на один разряд вправо или влево.

Двоичная система счисления

Развёрнутая форма записи числа:

2 1 0 -1 -2

101,01 2 = 1  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0 + 0  2 -1 + 1  2 -2

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево.

• Перевод чисел

10 2 через деление на 2 с остатком

2 10 через степень основания (2)

Примеры перевода в двоичную систему счисления:

1110000 2

10111 2

23 10 =

23 11( 1 )

11 5( 1 )

5 2( 1 )

2 1(0 )

112 10 =

112 56( 0 )

56 28( 0 )

28 14( 0 )

14 7( 0 )

7 3( 1 )

3 1(1)

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

132

265

16

Число, частное

Остаток

66

33

8

2

1

0

4

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1 2

0

0

1

0

0

0

1

265 10 =

Компактное оформление

363

181

1

90

1

45

0

1

22

11

0

5

1

2

1

0

1

1

363 10 = 101101011 2

314

0

157

78

1

39

0

1

19

1

9

1

4

0

2

1

0

1

314 10 = 100111010 2

265 10

= 256 + 8 + 1

265 10 = 1 *2 8 + 1 *2 3 + 1 *2 0

1

1

1

2 8

2 7

2 6

2 5

2 4

2 3

2 2

2 1

2 0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

265 10 = 100001001 2

=1* 10000 +8* 1000 +5* 100 +4* 10 + 3* 1

18543 10

4 3 2 1 0

18543 10 = 1* 10 4 + 8* 10 3 + 5* 10 2 +4* 10 1 +3* 10 0

Обратный перевод (через степень)

Степени

двойки:

2 0 = 1

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

6 5 4 3 2 1 0

1010110 2 = 1*2 6 + 0*2 5

+ 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 +

1*2 1 +0*2 0 = 64 + 16 + 4

+ 2 =86 10

0

1

4

3

2

+ 0* 2 3

10111 2

+ 1* 2 1

= 1* 2 4

+ 1* 2 0

+ 1* 2 2

10111 2 = 1* 16 + 0* 8 + 1* 4 + 1* 2 + 1* 1 = 23 10

10111 2

= 23 10

• Над каждой цифрой числа справа налево записать по порядку степени двойки, начиная с нулевой.
• Записать число в развернутой форме, т.е. представить в виде суммы произведений степеней двойки на соответствующие цифры числа.
• Вычислить значение полученного выражения.
• Записать десятичное число.

0

4

3

2

1

10111 2

= 1* 2 4

+ 0* 2 3

+ 1* 2 1

+ 1* 2 0

+ 1* 2 2

10111 2 = 1* 16 + 0* 8 + 1* 4 + 1* 2 + 1* 1 = 23 10

10111 2 = 23 10

Дома:

• записи в тетради
• Решение примеров:

Перевести в двоичную систему счисления:

34 10 , 17 10 , 99 10 , 124 10

Двоичное число

Десятичное число

111 2

1010 2

11011 2

101101 2

74

74 10 =

121

121 10 =

2020

2020 10 =

Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  8 n–1 +a n–2  8 n–2 +…+a 0  8 0

Пример : 1063 8 =1  8 3 +0  8 2 +6  8 1 +3  8 0 =563 10 .

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Шестнадцатеричная система счисления

Основание : q = 16.

Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

3АF 16 =3  16 2 +10  16 1 +15  16 0 =768+160+15=943 10 .

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления:

154

16

9

-144

16

10

9

0

(А)

154 10 = 9А 16

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;

2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Цифровые весы

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

Десятичная система

Двоичная система

1

Восьмеричная система

1

2

Шестнадцатеричная система

1

10

3

4

1

2

11

5

100

3

2

3

6

4

101

5

4

7

110

5

6

111

8

9

6

7

1000

10

1001

7

10

8

11

1010

11

9

12

1011

12

A

13

13

1100

1101

14

14

B

C

15

15

1110

1111

16

16

D

E

17

10000

17

F

20

10001

18

10

21

10010

11

22

12

Самое главное

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m )

Здесь:

А — число;

q — основание системы счисления;

a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа;

q i — «вес» i -го разряда.

Вопросы и задания

Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

Запишите в развёрнутом виде числа:

а) 143,511 10

б) 143511 8

в) 143511 16

г) 1435,11 8

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Укажите, какое из чисел 110011 2 , 111 4 ,35 8 и1В 16 является:

а) наибольшим

б) наименьшим

Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:

а) 172 8

б) 2ЕА 16

в) 101010 2

г) 243 6

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) 513

б) 600

в) 2010

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

а) 513

б) 600

в) 2010

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Найдите основание х системы счисления, если:

а) 14 x =9 10

б) 2002 x =130 10

Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?

Цифры каких систем счисления приведены на рисунке?

Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

Верны ли следующие равенства?

а) 33 4 =21 7

б) 33 8 =21 4

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 89

б) 600

в) 2010

Основание 2

101010

Основание 8

Основание 10

Основание 16

127

321

2А

Задачник «Системы счисления»

Электронные образовательные ресурсы

• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел

• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – История развития систем счисления
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Задачник
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Развернутая форма записи числа
• http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Тренировочный тест