Презентация по теме "Вычисление объёмов. Механические и физические приложения определённого интеграла".

ГАПОУ НСО «Барабинский медицинский колледж»

Тема 1.7. Основы интегрального исчисления. Неопределённый интеграл Практические занятия 8. Вычисление объёмов. Механические и физические приложения определённого интеграла

Подготовила Потемкина О.А.

Найдите значение определенных интегралов

Вариант 2

Вариант 1

• Найдите площадь фигуры ограниченной линиями

• Найдите площадь фигуры ограниченной линиями

Эталон ответа:

Вариант 1

1

Вариант 1

1

Вариант 2

2

2

Вариант 2

24

3

24

3

-6

-6

4.5

4.5

Критерии оценки

«5» – 3 верных ответов;

«4» – 2 верных ответов;

«3» –1 верный ответ;

«2» – нет верных ответов.

Вычисление объёма через определенный интеграл

Вычисление объёма через определенный интеграл

Вычисление объёма через определенный интеграл

Площадь слоя (прямой призмы) можно посчитать по формуле

. Т

То есть .

Учитывая, что – постоянная величина, то ее можно вынести за знак суммы .

Задача 1. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х, является квадратом, сторона которого равна 1/х. Найти объем этого тела.

Задача 2. Найти объём тела, полученного вращением кривой вокруг оси Ox на отрезке [0;1 ].

Задача 3. Найти объём тела, полученного вращением кривой , вокруг оси Ox .

Задача 4. Найдите объём тела, если его поверхность получена вращением фигуры образованной графиками функций: на [-3;2]; на [2;8]; на [4;8].

Площадь поверхности вращения

1. Если дуга кривой, заданная функцией , , вращается вокруг оси Oх , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

, где a и b – абсциссы начала и конца дуги.

2. Если дуга кривой, заданная функцией , , вращается вокруг оси Oу , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

, где c и d – ординаты начала и конца дуги.

Площадь поверхности вращения

Пример 5 . Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги параболы , вокруг оси Oх .

Площадь поверхности вращения

Задача 6.

Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой , =1 вокруг оси Oу .

Физические приложения определенного интеграла

По данной формуле будем вычислять пройденный точкой (телом) путь при переменном движении.

Работа переменной силы

По данной формуле вычисляется работа переменной силы, имеющей различную природу: сил тяготения, электромагнитных и ядерных сил.

Задача 9.

В цилиндрическом сосуде с поршнем заключён атмосферный воздух объёмом 200 л. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать этот воздух до объёма 0,05 м 3 ? Темпера­тура воздуха остаётся постоянной.

Примечание. Пусть х — расстояние, пройденное поршнем; при перемещении его на dx (на малую величину) испытываемое давление поршнем остаётся неизменным, при этом объём V изме­нится на величину dv.

Вычисление работы, производимой при поднятии груза

Задача 10.

Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Вычисление работы, производимой при поднятии груза

Задача 11.

Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара конической формы с вершиной, обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основания конуса R = 1 м, высота 2 м.

Вычисление силы давления жидкости

Величина силы давления жидкости на горизонтальную пло­щадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т.е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления на горизонтальную площадку вычисляется по формуле , где ρ – плотность жидкости (кг/м 3 ); S – площадь площадки (м 3 ); х – глубина погружения площадки (м).

Если площадка, испытывающая давление жидкости, не гори­зонтальна, то давление на неё различно на разных глубинах, сле­довательно, сила давления на площадку есть функция глубины её погружения, Q = f(x).

Вычисление силы давления жидкости

Задача 12.

Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза).

Контролирующий материал по теме «Вычисление площадей»

Вариант 2

Вариант 1

• Найдите объём тела вращения образованного параболой на отрезке [0;4] вокруг оси Ох .
• Скорость движения точки v = (6t 2 +4) м/с. Найти путь, пройденный точкой за четвёртую секунду.

• Найдите объём тела вращения образованного параболой на отрезке [0;2] вокруг оси Ох .
• Скорость движения точки v= (9t 2 -8t) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

Критерии оценки

2 верных ответа – «5»;

1 верный ответ и во втором примере допущена вычислительная ошибка, но верно составлено подынтегральное выражение и найдена первообразная – «4»;

1 верный ответ – «3»;

Не найдено решение в двух задачах – «2».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов

• Работа с учебником [1, стр. 88-114];
• Работа с учебником [1, стр. 116, задание №32, контрольные вопросы].

Список использованных источников

• Гилярова, М. Г. Математика для медицинских колледжей [Текст]. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410 с. – (Медицина)
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
• Михеев, В.С. Математика: учеб. пособие [Текст] / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. –Ростов н/Д : Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).
• Омельченко, В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник [Текст] / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. ‑588с.
• Омельченко, В.П. Математика: учеб. пособие [Текст] / В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – Изд. 5-е, стер. – Ростов н/Д: Феникс. 2011. – 380 с. – (Среднее профессиональное образование).
• Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла и объем наклонной призмы [Электронный ресурс] / interneturok.ru – Режим доступа: https://interneturok.ru/lesson/geometry/11-klass/bobyomy-telb/vychislenie-ob-emov-tel-s-pomoschyu-opredelennogo-integrala-i-ob-em-naklonnoy-prizmy