Презентация разрешимость алгебраических уравнений

Уравнения третьей степени

где a , b , с принадлежат полю комплексных чисел.

Формула Кардано:

Корни уравнения:

Уравнения четвертой степени

Решение уравнения четвертой степени

где a , b , c , d принадлежат полю комплексных чисел, сводится к решению некоторого уравнения третьей степени. Достигается это методом, который называется методом Феррари.

Подстановкой

уравнение приводится к виду:

Отсюда Или

Теорема Руффини-Абеля . Для алгебраических уравнений заданной n -й степени не существует общих формул, выражающих каждый корень уравнения через радикалы, когда n≥ 5.

Уравнения четвертой степени

Решение уравнения четвертой степени

где a , b , c , d принадлежат полю комплексных чисел, сводится к решению некоторого уравнения третьей степени. Достигается это методом, который называется методом Феррари.

Подстановкой y = x-a/4

уравнение приводится к виду: x ⁴+p x ²+q x +r= 0

Отсюда: или

Теорема Руффини-Абеля .

Для алгебраических уравнений заданной n -й степени не существует общих формул, выражающих каждый корень уравнения через радикалы, когда n≥ 5.

Пусть Р и К – два произвольных поля, для которых . Группой Галуа поля К над полем Р называется множество всех автоморфизмов поля К , т. е. множество всех изоморфизмов вида , для которых любая точка из Р неподвижна:

Группой Галуа уравнения называется группа Галуа поля разложения многочлена f полем коэффициентов Pₒ этого уравнения, т.е. группа Галуа вида G ( , ).

Теорема Э. Галуа . Неприводимое уравнение , где , разрешимо в радикалах в том и только в том случае, если его группа Галуа G ( ,Р) разрешима.

Задача о трисекции угла, способ Архимеда.

Построение точки М(х, у).

Построение числа – b.

Построение числа а+b.

Построение числа а·b сводится к проведению прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

Построение числа a / b также сводится к проведению параллельной прямой, проходящей через данную точку.

Построение числа сводится к делению данного отрезка пополам.

Следствие 1. Любое рациональное число можно СL -построить. Любой элемент из квадратичного расширения поля Q можно СL-построить. Следствие 2. Если вещественные или комплексные числа а, b, с можно СL-построить, то можно CL-построить все корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0.

Точку М (х, у) арифметической плоскости R ₂ можно СL-построить в том и только в том случае, когда найдется такое квадратичное расширение Р поля Q, что х∈Р и у∈Р.

Если проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника имеют положительное решение, то соответственно следующие кубические уравнения имеют вещественные корни, которые можно CL-построить: а) х³-2=0; б)х³-3х-1=0; в) x³+x²-2х-l=0 .

Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения nравuльного семиугольника с помощью циркуля и линейки неразрешимы.

Решить кубичное уравнение . Полагая x=y+3 мы получим «приведенное» уравнение , к которому можно применить формулу. Здесь и поэтому . Одним из значений этого кубичного радикала будет число 3. Произведение этого значения на соответствующее ему значение второго кубичного радикала, входящего в формулу, должно, как мы знаем, равняться числу , т. е. в нашем случае равняться числу -3. Искомым значением второго радикала будет, следовательно, число -1, и поэтому одним из корней приведенного уравнения служит . Теперь, когда один из корней кубичного уравнения получен, найти два других можно многими разными способами. Можно разделить левую часть приведенного уравнения на y -2, после чего останется решить квадратное уравнение. Любой из этих способов покажет, что двумя другими корнями нашего приведенного уравнения служат числа и Корнями исходного кубичного уравнения будут, следовательно, числа 5, , . Понятно, что далеко не всегда радикалы берутся так легко, как в рассмотренном нами примере, — гораздо чаще их приходится вычислять приближенно и поэтому получать лишь приближенные значения корней уравнения.

Решите уравнение . Произведем подстановку: . Тогда получим . Отсюда: p= -3, q= -6. Согласно формулам имеем: . Вычтем из второго уравнения совокупности первое, получим: . Отсюда Сложив уравнения совокупности, получим: и подставим в него . В результате получим кубическое уравнение, ход решения которого нам уже известен.

Нахождение группы Галуа Оказывается, что группу G(f) действительно можно вычислить, не зная корней уравнения . Дано уравнение: . Очевидно, что оно биквадратное и решается в радикалах. Однако наша цель в другом: продемонстрировать как, не пользуясь знанием корней уравнения, найти его группу Галуа. Для начала отметим, что многочлен , стоящий в левой части, не разлагается на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами. Пусть α какой-нибудь корень данного уравнения. Тогда – тоже корни, причем все они попарно различны. Занумеруем их так: Очевидно, что . При каком-то автоморфизме поля Q( α ) число α переходит в , т.е. остается на месте, то понятно, что тоже останутся на месте. Таким образом получится единичная перестановка e .

Далее, если α перейдет в , то по той же причине получится перестановка: . Наконец, при и получатся перестановки: и . Мы перебрали все возможности для образа α , поэтому никакие другие перестановки появиться не могут. С другой стороны, можно убедиться, что все четыре перестановки e , a , b , c действительно возникают из автоморфизмов поля Q( α ) . Так что они и составляют группу G(f) нашего уравнения. Если, как мы собираемся доказать, автоморфизм Q( α ) , соответствующий подстановке a , существует, то он обязан действовать так: , где g , h произвольные многочлены с рациональными коэффициентами, при этом h( α )≠0 . Тонкость состоит в том, что число может быть записано многими разными способами: Поэтому нужно убедиться, что при замене все эти равенства сохраняются.

Иначе говоря, если и . Чтобы доказать это, поделим р на исходный многочлен с остатком: ; остаток r(x) – это многочлен степени не выше третьей. Так как . То и . Предположим на время, что r(x)≠0 . По школьной теореме Безу многочлены f(x) , r(x) имеют общий делитель (x- α ) . Полученное противоречие означает, что , r(x)=0 т.е. . Положив , получаем требуемое равенство .Точно также получается и . Далее из h( α )≠0 следует, что и т.д. Итак G(f)={e a b c} . Группа Галуа найдена, и значения корней при этом не понадобились.