Презентация "Уравнение плоскости"

Кувандыкова Гулсара Нурсеитовна, учитель математики СОШЛ№20 г.Актобе

10 класс Геометрия

Уравнение плоскости

10.4.19 - выводить общее уравнение плоскости

( ax + b y+ cz + d = 0 )

через вектор нормали и точку,

лежащую на этой плоскости;

Теорема

• Плоскость в пространстве задается уравнением ax+by+cz+d=0 , где a, b, c, d – действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали.

a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0 - уравнение плоскости,

проходящей через точку М 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ),

перпендикулярно вектору

ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости

с нормальным вектором

Задача 1. Найдите координаты вектора нормали для плоскости:

Задача 2. Напишите уравнение координатной плоскости: a) Oxy; b) Oxz; c) Oyz.

Решение:

т.к. плоскость Oxy, на которой лежит точка М(х 0 ; у 0 ; 0), перпендикулярна оси Oz , то нормальным вектором является . Подставив в уравнение плоскости данные задачи, получим:

z=0 - уравнение плоскости Oxy.

Аналогично определяются,

y=0 - уравнение плоскости Oxz и

x=0 - уравнение плоскости Oyz.

Ответ: a) z=0 ; b) y=0 ; c) x=0 .

Задача 3. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; 2; 1), с вектором нормали .

Дано: М(-1; 2; 1) ,

Найти: уравнение плоскости

Решение:

т.к. уравнение плоскости записывается формулой

a(x-x 0 )+b(y-y 0 )+c(z-z 0 )=0, то, подставив данные задачи, получим:

0(x+1)-5(y-2)+2(z-1)=0

-5y+2z+8=0

Ответ: -5y+2z+8=0

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; -2; 4) и параллельна координатной плоскости: а) Oxy; b) Oxz; c) Oyz.

Решение:

а) искомая плоскость параллельна Oxy, а значит, перпендикулярна оси Oz, т.е.

является нормальным вектором для искомой плоскости. Значит, 0(x-1)+0(y+2)+1(z-4)=0; z=4

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; -2; 4) и параллельна координатной плоскости: а) Oxy; b) Oxz; c) Oyz.

Решение:

b) искомая плоскость параллельна Oxz, а значит, перпендикулярна оси Oy, т.е.

является нормальным вектором для искомой плоскости. Значит, 0(x-1)+1(y+2)+0(z-4)=0; y=-2

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; -2; 4) и параллельна координатной плоскости: а) Oxy; b) Oxz; c) Oyz.

Решение:

c) искомая плоскость параллельна Oyz, а значит, перпендикулярна оси Ox, т.е.

является нормальным вектором для искомой плоскости. Значит, 1(x-1)+0(y+2)+0(z-4)=0; x=1

Ответ: a) z=4; b) y=-2; c) x=1.

Вопросы для закрепления:

• 1. Найдите координаты вектора нормали для плоскости 7x+4y-9z=0

Ответ: (7; 4; -9)

• 2. Напишите нормальные векторы к координатным плоскостям.

Соотнесите ответы с условием задачи:

Условие

Укажите координаты точки, принадлежащие плоскости, заданной уравнением 3x-2y+5z-10=0

Укажите координаты точки, принадлежащие плоскости, заданной уравнением -3x-5y+5z+3=0

Ответ

(3; 2; -5)

Укажите координаты вектора нормали к плоскости, заданной уравнением 3x+2y-5z+3=0

Укажите координаты вектора нормали к плоскости, заданной уравнением -3x+5y-7z+1=0

(-3; 5; -7)

(1;-1; 1)

(1; -1; -1)

Учебные задания для закрепления:

• Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М(7; -2; 11), с вектором нормали .
• Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(-1; 4; -5) и параллельна координатной плоскости Oxy.

Ссылки на дополнительные ресурсы для самостоятельного изучения:

• http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-uravnenij/uravnenie-ploskosti/
• https://www.youtube.com/watch?v=8hHbSt1dt5Y

Спасибо за внимание!