Презентация урока алгебры в 7 классе. Тема урока: Применение признаков делимости

АЛГЕБРА – 7 КЛАСС

Девятое октября Классная работа Тема урока: Применение признаков делимости

Историческая справка

Историческая справка

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление

Историческая справка

Актуализация опорных знаний

На 2:

если запись натурального числа оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), то это число делится без остатка на 2

10 1 , 2 3 , 7 5 , 9 7 , 2 9

5 0 , 23 2 , 38 4 , 67 6 , 19 8

На 9:

если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится без остатка на 9

На 3:

если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится без остатка на 3

276

5787

Признаки делимости

563

359

68 0

37 0 и 148 5

На 10:

если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10

10 4

На 5:

если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5

53 7 и 400 8

Изучение нового материала

Классификация признаков делимости

Признаки делимости по последним цифрам числа

Признаки делимости по сумме цифр числа

Признаки делимости по с помощью математических действий с цифрами числа

Признаки делимости на составные числа

Изучение нового материала

1 группа . Признаки делимости по последним цифрам числа : когда делимость чисел определяется по последним цифрам числа - это признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, а также 10, 100, 1000 и т.д.

Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4.

Примеры:

а) число 785 36 делится на 4, так как 36 делится на 4;

б) число 5 00 делится на 4, так как оканчивается на 00;

в) число 84 22 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.

Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000 или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 8.

Примеры:

а) число 78 000 делится на 8, так как оканчивается на 000;

б) число 24 840 делится на 8, так как 840 делится на 8;

в) число 8 422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.

Признак делимости на 20: число делится на 20, если две его последние цифры делятся на 20 или равны нулю.

Примеры:

а) число 22 20 делится на 20, так как 20 делится на 20.

б) число 6 00 делится на 20, так как число оканчивается нулями.

Признак делимости на 25: ч исло делится на 25, если оно заканчивается на: 00, 25, 50, 75.

Примеры:

а) число 4 75 делится на 25, так как его последние цифры равны 75;

б) число 19 00 делится на 25, так как заканчивается на 00.

Признак делимости на 50 : число делится на 50, если оканчивается на 50 или 00.

Примеры:

а) число 69 50 делится на 50, так как последние цифры это 50.

б) число 40 00 делится на 50, так как заканчивается двумя нулями.

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Примеры:

а) число 225 000 делится на 125, т.к. три последние цифры – нули;

б) число 2397 250 делится на 125, так как число 250 делится на 125.

Признак делимости на 100 : число делится на 100, если оканчивается на 00

Примеры:

а) число 7804 00 делится на 100, так как оканчивается на 00;

б) число 72 80 не делится на 100, так как не оканчивается на 00.

Признак делимости на 1000 ( аналогичен) : на 1000 делятся только числа, оканчивающиеся на 000.

2 группа . Признаки делимости по сумме цифр числа : когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на 3, 7, 8, 9, 11, 37, 75.

Признак делимости на 7: число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Примеры:

а) число 112 делится на 7, так как 113+2=35;

б) число 217 делится на 7, так как 21=70

Признак делимости на 8 : число делится на 8, если число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 8.

Пример:

число 24 840 делится на 8, так как 420 делится на 8.

Признак делимости на 11 : число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 или если эти суммы равны.

Примеры:

а) число 2310 делится на 11, так как 2+1=3 и 3+0=3. Суммы равны, значит число делится на 11;

б) число 9482 делится на 11, так как 9+8=17 и 4+2=6, а их разность 17-6=11. Так как 11 делится на 11, поэтому и число делится на 11.

Признак делимости на 37 : число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Пример:

число 21312 делится на 37, так как 21+312=333. Число 333 делится на 37, значит и число 21312 делится на 37.

Признак делимости на 75 : число делится на 75, если сумма его цифр делится на 3 и две последние цифры этого числа делятся на 25.

Пример:

число 1275 делится на 75, так как 1+2+7+5=15, 15 делится на 3; также число 75 делится на 25. Итог – число 1275 делится на 75.

3 группа . Признаки делимости с помощью математических действий с цифрами числа : когда делимость чисел определяется после выполнения математических действий с цифрами числа – это признаки делимости на 7, 13, 17, 19, 29, 33.

Признак делимости на 7 : число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

а) число 343 делится на 7, так как 34 - (2*3) = 34-6=28 делится на 7;

б) число 259 делится на 7, так как 25 - (2*9) = 7 делится на 7.

Признак делимости на 13 : число делится на 13, если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Примеры:

а) число 351 делится на 13, так как 35+1*4 = 39 – делится на 13;

б) число 1313 делится на 13, так как 131+3*4 = 143. Если трудно определить, делится ли полученное число на 13, то можно сократить его ещё: 14+3*4 = 26 – делится на 13.

Признак делимости на 17: ч исло делится на 17 тогда, когда разность числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример:

число 221 делится на 17, т.к. 22-5*1 = 17 – делится на 17.

Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Примеры:

а) число 2128 делится на 19, так как 212+ 2*8 =228, 22 + 8*2 =38 – делится на 19;

б) число 4009 делится на 19, так как 400 + 2*9 =418, 41 + 8*2 = 57 – делится на 19.

Признак делимости на 29 : число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Пример:

число 6119 делится на 29, так как 611+ 9*3 = 638, 63 + 8*3 = 87 – делится на 29.

Признак делимости на 33 : число делится на 33, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Пример:

число 396 делится на 33, так как 96+3 = 99 – делится на 33.

4 группа . Признаки делимости на составные числа : это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18, 30.

Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится.

Примеры:

а) число 2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3;

б) число 3754 не делится на 6, так как 3754 делится на 2, но не делится на 3.

Признак делимости на 12 : на 12 делятся только числа, делящиеся и на 3, и на 4.

Пример:

число 3648 делится на 12, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также на 4, потому что оканчивается на число 48.

Признак делимости на 15 : на 15 делятся только числа, делящиеся и на 5 и на 3.

Пример:

а) число 375 делится на 15, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также данное число делится на 5, потому что оно оканчивается на 5;

б) число 251 не делится на 15, потому что оно не делится ни на 3, ни на 5.

Признак делимости на 14 :

Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

Пример:

а) число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.

б) число 126 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 18: число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Пример:

а) число 414 делится на 18, так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр – 4 + 1 + 4 = 9 - делится на 9;

б) число 162 делится на 18, так как сумма цифр – 1+6+2=9 – делится на 9.

Признак делимости на 30: число делится на 30, когда оно одновременно делится на 10 и на 3.

Пример:

число 12750 делится на 30, так как оно оканчивается  0, то есть делится на 10, и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 5 = 15, то есть делится на 3.

Занимательные факты

Число на гробнице «2520».

В Египетской пирамиде

археологи нашли саркофаг с числом «2520»

без какого-либо пояснения к нему.

Математик Кордемский Б.А. в своей работе «Математическая смекалка» указал, что число это примечательно, как наименьшее общее кратное первых 10-ти чисел, то есть это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все целые числа, начиная с 1 и заканчивая 10.

Занимательные факты

Необычное число 37.

Любое число, состоящее из 3-х одинаковых цифр, делится на 37.

Например: числа 111, 222, 333 и все остальные, кратные 111 – делятся на 37.

Также, шестизначное число делится на 37, если при разложении его на две группы (по 3 цифры) сумма чисел этих групп делится на 37, либо составляет число из трех одинаковых цифр.

Например:

Число 259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444.

Число 346209 делится на 37, так как 346 + 209 = 555.

Занимательные задачи

Случай в магазине.

Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Решение

Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м).

Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3.

По признаку делимости на 3: на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Занимательные задачи

Задача про тарелки.

В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Решение

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок.  

Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60.  

Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.

Ответ: 547 тарелок.

Подведение итога урока

Сегодня на уроке вы узнали много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации.

Узнали, что кроме известных признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 25, 30, 33, 37, 50, 75, 125 и многие другие числа.

Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Полученные знания можно использовать в учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации.

Убедились, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным и функциональным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

Домашнее задание

1. Посмотрите видео:

https://yandex.ru/video/preview/14359616629863779114

2. Запишите в тетрадь признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 25, 30, 50, 90

(из презентации или из видео)