Презентация в современном формате "Векторы в пространстве"

  Государственное общеобразовательное учреждение Луганской Народной Республики "Краснодонская средняя школа №1 имени А. М. Горького”

Проект по курсу “Геометрия”

Тема: Векторы в пространстве

Выполнил ученик 10 класса

Боровлев Андрей

Проверила:

г. Краснодон, 2023

Содержание

• История

• Конец прошлого и начало текущего столетия
• Конец прошлого и начало текущего столетия
• Векторное пространство Определение Простейшие свойства Связанные определения и свойства
• Определение
• Простейшие свойства
• Связанные определения и свойства

• Подпространство Свойства подпространств Линейные комбинации Базис и размерность Линейная оболочка Изоморфизм
• Подпространство Свойства подпространств Линейные комбинации Базис и размерность Линейная оболочка Изоморфизм
• Подпространство
• Свойства подпространств
• Линейные комбинации
• Базис и размерность
• Линейная оболочка
• Изоморфизм
• Список литературы

История

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. 

      Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

История

Конец прошлого и начало текущего столетия

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики

Векторное пространство (1)

Векторное пространство  ( линейное пространство ) — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы.

Векторное пространство (2)

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств, где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к  XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение (1)

Линейное, или векторное, пространство V(F) над полем F — это упорядоченная четвёрка (V, F, +, *), где

V — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами.

F — поле, элементы которого называются скалярами.

Определена операция сложения векторов V * V = V, сопоставляющая каждой паре элементов x, y множества V единственный элемент множества V называемый их суммой и обозначаемый x + y.

Определена операция умножения векторов на скаляры F * V = V сопоставляющая каждому элементу l поля F и каждому элементу x множества V единственный элемент множества  V обозначаемый l * x или lx

Определение (2)

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

• x + y = y + x для любых x, y, = V ( коммутативность сложения );
• X + (y + z) = (x + y) + z для любых x, y, z = V ( ассоциативность сложения );
• существует такой элемент 0 = V что x + 0 = 0 +x = x для любого x = V ( существование нейтрального элемента относительно сложения ), называемый  нулевым вектором , или просто  нулём , пространства V
• для любого x = V  существует такой элемент –x = V что x = V что x

+ ( -x) = 0 называемый вектором,  противоположным  вектору x

5. a(bx) = (ab)x ( ассоциативность умножения на скаляр )

6. 1* x = x ( унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор ).

7. (a + b)x = ax + bx ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров );

8. a(x + y) = ax + ay ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов ).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве V структуру (аддитивной) абелевой группы.

Определение (3)

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R2 может быть двумерным векторным пространством над полем  действительных чисел  либо одномерным — над полем  комплексных чисел ).

Простейшие свойства

• Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
• Нейтральный элемент 0 = V является единственным, что вытекает из групповых свойств.
• 0 * x = 0  для любого x = V
• Для любого x = V противоположный элемент –x = V является единственным, что вытекает из групповых свойств.
• 1 * x = x  для любого x = V
• (-a) * x = a * (-x) = - (ax) для любых a = F и x = V
• a * 0 = 0 для любого a = F

Подпространство

Алгебраическое определение:  Линейное подпространство , или  векторное подпространство , ― непустое подмножество K линейного пространства V такое, что K само является линейным пространством по отношению к определённым в V действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(V)  Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора x=K вектор ax также принадлежал K при любом a=F

2. для всяких векторов x, y = K вектор x+y также принадлежал K

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов x, y = K вектор ax + by акже принадлежал K  для любых a, b = F

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют  собственными , или  нетривиальными .

Свойства подпространств

Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;

Сумма подпространств {KiIi=1…N} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki

NKi:={x1+x2+…+xNIxi=Ki (i=1…N)}

i=1

Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации

Формальное выражение вида

a1x1 + a2x2 + … + anxn

называется  линейной комбинацией  элементов x1, x2, …, xn = V с коэффициентами a1, a2, …, an = F.

• В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).
• Линейная комбинация называется:
• нетривиальной , если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• барицентрической , если сумма её коэффициентов равна 1,
• выпуклой , если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
• сбалансированной , если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис и размерность (1)

Векторы x1, x2 …, xn называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0

при некоторых ненулевых коэффициентах a1, a2, …, an = F (то есть если хотя бы один из a1, a2, …, an не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются  линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V называется  линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое  конечное  его подмножество, и  линейно независимым , если любое его  конечное  подмножество линейно независимо.

Можно показать, что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется  рангом , или  размерностью , пространства, а само это множество —  базисом  ( базисом Гамеля , или  линейным базисом ). Элементы базиса именуют  базисными векторами . Размерность пространства чаще всего обозначается символом dim.

Базис и размерность (2)

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется  конечномерным , а во втором —  бесконечномерным  (например, бесконечномерным является  пространство непрерывных функций ). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и  их отображений  относится к  линейной алгебре , а изучение бесконечномерных векторных пространств — к  функциональному анализу . Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о  сходимости  соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с  метрикой  или  топологией .

• Свойства базиса:
• Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют  базис  этого пространства.
• Любой вектор x = V можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

x = a1 x1 + a2 x2 + … + an xn

Линейная оболочка

Линейная оболочка  V (X) подмножества X линейного пространства V - пересечение всех подпространств V содержащих X.

Линейная оболочка является подпространством V.

Линейная оболочка также называется  подпространством, порожденным  X Говорят также, что линейная оболочка V(X) - пространство,  натянутое на  множество X.

Линейная оболочка V(X) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X  В частности, если X — конечное множество, то V(X) состоит из всех линейных комбинаций элементов X. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если X — линейно независимое множество, то оно является базисом V(X) и тем самым определяет его размерность.

Изоморфизм

Два линейных пространства V’ (F) и V’’ (F) называются изоморфными, если между векторами x’ = V’ и x’’ = V’’ можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

1. если вектору x’ = V’  соответствует вектор x’’ = V’’ а вектору y’ = V’ соответствует вектор y’’ = V’’  то вектору x’ + y’ = V’ соответствует вектор x’’ + y’’ = V’’

2. если вектору x’ = V’  соответствует вектор x’’ = V’’ и l - элемент поля F то вектору lx’ = V’ соответствует вектор lx’’ = V’’

Список литературы

• ru.wikipedia.org - https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
• sites.google.com - https://www.sites.google.com/site/mirgeometrii/istoria-vozniknovenia-ponatia-vektor