Презентация Введение в комбинаторику и теорию вероятностей.

Введение

в комбинаторику и теорию вероятностей.

• Комбинаторика
• Факториал
• Перестановки
• Размещения
• Сочетания
• Частота и вероятность
• Сложение вероятностей
• Умножение вероятностей

Цель: Изучить материал презентации, разобрать решенные задачи.

Комбинаторика.

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Пример 2 . Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?

5

7

1

3

1

3

3

3

5

5

7

7

5

1

1

7

1

1

3

3

3

5

5

1

1

1

3

1

3

5

5

7

5

7

7

7

5

7

7

3

дерево вариантов

4

Квадратные числа

4

Треугольные числа

4

Прямоугольные и непрямоугольные числа.

4

Факториал.

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n . Обозначение n !

Таблица факториалов:

n

n!

0

1

1

2

1

3

2

4

6

5

24

6

120

7

720

8

5 040

9

40 320

10

362 880

3 628 800

Перестановки.

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

P n = n!

Пример 1.

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P 8 = 8! = 40 320

Пример 2 .

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3.

Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?

Решение:

Размещения.

Определение. Размещением

из n элементов

конечного множества по k , где

, называют

упорядоченное множество, состоящее из k

элементов.

Пример 1.

Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Пример 2.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

Пример 3.

Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Решение:

Сочетания.

Определение . Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k . (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Треугольник Паскаля

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

…

…

Треугольник Паскаля

столбцы

строки

0

0

1

1

1

2

1

2

3

1

1

3

4

2

1

4

5

3

1

5

1

6

1

4

3

6

…

…

1

1

6

5

10

6

4

…

10

1

15

5

20

1

15

6

1

Треугольник Паскаля

…

Пример 1.

Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек?

Решение:

Пример 2.

Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета?

Решение:

Пример 3.

Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Решение :

Частота и вероятность.

Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний,

в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний.

, где m – число испытаний с

благоприятным исходом,

n – число всех испытаний.

Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Частота и вероятность.

.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.

Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым?

Решение:

а)

б)

в)

Пример 2.

Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

Решение:

Пример 3.

Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта?

Решение :

Сложение вероятностей.

D и E называются несовместными событиями .

Сложение вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Пример 1 .

В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара.

Решение :

Пример 2.

В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной.

Решение :

- всего событий

Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные,

событие В – среди 6 отобранных деталей одна

нестандартная.

- благоприятные события для А

- благоприятные

события для В

Умножение вероятностей.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1.

Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза.

Решение :

Пример 2 .

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7.

Найдите вероятность

хотя бы одного попадания в цель, если каждое

орудие сделало по одному выстрелу.

Решение :

событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

событие

- промах 1-го орудия

событие

- промах 2-го орудия

события

и

независимые

события А и

противоположные