Прямокутний паралеллепіпед. Куб. (урок геометрії в 11 класі)

Урок37,38 11-а (10.11.2016)

Тема уроку. Прямокутний паралелепіпед.Куб.

Мета уроку: формування понять: прямокутний паралелепіпед, куб, лінійні виміри прямокутного паралелепіпеда; вивчення властивостей діагоналей прямокутного паралелепіпеда.

Тип: засвоєння знань, формування вмінь.

Хід уроку.

І.Організаційний етап.

Налаштування учнів на роботу, привітання.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальне опитування.

1) Дайте означення паралелепіпеда.

2) Сформулюйте відомі вам властивості граней і ребер паралелепіпеда.

3) Сформулюйте відомі вам властивості діагоналей паралелепіпеда.

4) Чим є для паралелепіпеда точка перетину його діагоналей?

2.перевірити правильність розв’язання задачі № 757:

1.Яка фігура лежить в основі паралелепіпеда? (паралелограм)

2) За якою формулою можна знайти площу основи? (Відповідь. S = ab sinγ.)

3)Чому дорівнює площа основи паралелепіпеда?

4)Як знайти діагоналі основи? (за теоремою косинусів, співвідношення між діагоналями та сторонами паралелограма)

5) Користуючись якою теоремою, можна знайти площу бічної пове­рхні паралелепіпеда? (Відповідь. Теоремою про площу бічної по­верхні прямої призми.)

6)Як знайти площу повної поверхня паралелепіпеда?

3.Самостійна робота

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб. Висота паралелепіпе­да дорівнює 8 см, діагоналі паралелепіпеда дорівнюють:

варіант 1 — 10 см і см;

варіант 2 — 17 см і 10 см. Знайдіть:

а) довжину більшої діагоналі основи; (2 бали)

б) меншу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 2d і утворює кут α :

варіант 3 — з бічним ребром;

варіант 4 — з основою паралелепіпеда.

Знайдіть:

а) довжину бічного ребра; (2 бали)

б) більшу діагональ основи; (2 бали)

в) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) довжину сторони основи; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу меншої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. а) 6 см; б) 5 см; в) см; г) 15 см²; д) 16 см²; е) arcsin.

Варіант 2. а) 15 см; б) 6 см; в) см; г) 45 см²; д) 48 см²; е) arcsin.

Варіант 3. a) 2dcosα; б) 2dsinα; в) d²sinα; г) ; д) ; е) arctg (2 cos α).

Варіант 4. а) 2dsinα;6) 2dcosα; в) d²cosα; г) ; д) ; e) arctg (2 sin α).

ІІІ.Формулювання мети і завдань уроку.

Основне завдання – вивчити означення прямокутного паралелепіпеда і куба та дослідити їх властивості.

4.Актуалізація опорних знань.

Виконання усних вправ

1.Як знайти діагональ прямокутника, знаючи його сторони.

2.Одна сторона прямокутника 8 см, а діагональ 10 см. Як знайти другу сторону прямокутника.

3.Чому дорівнює діагональ квадрата зі стороною 7 см?

4.Чому дорівнює сторона квадрата, якщо діагональ дорівнює 10 см?

5.Засвоєння знань

Прямокутний паралелепіпед

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називаєть­ся прямокутним, паралелепіпедом (схема «Види паралелепіпедів»).

Демонструються моделі прямокутних паралелепіпедів.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники. Усі діаго­налі прямокутного паралелепіпеда рівні. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри.

Прямокутний паралелепіпед, у якого лінійні виміри рівні, нази­вається кубом.

Демонструється модель куба.

.

Дано: АВСDА₁B₁С₁D₁ — прямокутний паралелепіпед; А₁С = d, АВ = а, AD = b, АА₁ = с (рис. 58. ).

Довести: d² = a² + b² + c².

Із ΔАОС AC² = AD² + DC² = a² + b².

Із ΔАА₁С А₁С² = АС² + AA = a² + b² + с²; d² = a² + b² + с² ·

6.Формування вмінь.

Виконання письмових вправ.

1.Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 4 см і 6 см, а бічне ребро – 12 см. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда і кут нахилу діагоналі до площини основи.

2.Знайдіть третій вимір прямокутного паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 6 і 7 см, а діагональ паралелепіпеда дорівнює 11 см. (Відповідь. 6 см.)

3.У прямокутному паралелепіпеді сторони основи дорівнюють а і b. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α . Знайдіть бічне ребро. (Відповідь. tgα.)

4.У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут α , а з бічною гранню — кут β. Знайдіть виміри парале­лепіпеда. (Відповідь. d sin β; ; d sin α.)

5.Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней дорівнюють S₁, S₂, S₃. (Відповідь. ; ; .)

6. Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.

Розв'язання

Нехай у паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 57) ABCD — квадрат, A₁O(АВС), точ­ка О — центр квадрата, A₁O = Н, АВ = а.

Проведемо OKAD, ОМАВ; тоді А₁КAD, Α₁ΜАВ (за теоремою про три перпендикуляри), тобто A₁K і А₁М — висоти бічних граней ADD₁А₁ та ABB₁A₁ відповідно. ΔA₁OK =ΔΑ₁ΟΜ (A₁О — спільний катет і ОК = ОМ = ); звідси: A₁K = А₁М. Оскіль­ки AD = АВ і А₁K = А₁М , то , тому .

Із ΔA₁ОM .

Тоді

Відповідь. .

За збірником завдань Мерзляк. С. 17 № 129,130, 132-137

7.Підсумок уроку.

8.Домашнє завдання. параграф 21, № 755,761,771 підготуватись до к.р.

Самостійна робота до уроку: Прямокутний паралелепіпед. Куб.

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб. Висота паралелепіпе­да дорівнює 8 см, діагоналі паралелепіпеда дорівнюють:

варіант 1 — 10 см і см;

варіант 2 — 17 см і 10 см. Знайдіть:

а) довжину більшої діагоналі основи; (2 бали)

б) меншу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Самостійна робота до уроку: Прямокутний паралелепіпед. Куб.

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб. Висота паралелепіпе­да дорівнює 8 см, діагоналі паралелепіпеда дорівнюють:

варіант 1 — 10 см і см;

варіант 2 — 17 см і 10 см. Знайдіть:

а) довжину більшої діагоналі основи; (2 бали)

б) меншу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Самостійна робота до уроку: Прямокутний паралелепіпед. Куб.

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб. Висота паралелепіпе­да дорівнює 8 см, діагоналі паралелепіпеда дорівнюють:

варіант 1 — 10 см і см;

варіант 2 — 17 см і 10 см. Знайдіть:

а) довжину більшої діагоналі основи; (2 бали)

б) меншу діагональ основи; (2 бали)

в) сторону основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу більшої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Самостійна робота до уроку: Прямокутний паралелепіпед. Куб.

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 2d і утворює кут α :

варіант 3 — з бічним ребром;

варіант 4 — з основою паралелепіпеда.

Знайдіть:

а) довжину бічного ребра; (2 бали)

б) більшу діагональ основи; (2 бали)

в) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) довжину сторони основи; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу меншої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)

Самостійна робота до уроку: Прямокутний паралелепіпед. Куб.

В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 2d і утворює кут α :

варіант 3 — з бічним ребром;

варіант 4 — з основою паралелепіпеда.

Знайдіть:

а) довжину бічного ребра; (2 бали)

б) більшу діагональ основи; (2 бали)

в) площу основи паралелепіпеда; (2 бали)

г) довжину сторони основи; (2 бали)

д) площу бічної поверхні паралелепіпеда; (2 бали)

е) кут нахилу меншої діагоналі паралелепіпеда до площини основи. (2 бали)