Презентация

Логика

Логика

это наука о формах и способах мышления.

Зачем она нужна?

Изучив логику, можно понять, как устроены электронные схемы компьютера.

Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

История развития логики

В основе современной логики лежат учения, созданные ещё древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в древнем Китае и Индии.

История развития логики

1-ый этап развития логики связан с работами учёного и философа, крупнейшего древнегреческого мыслителя - Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он был основоположником формальной логики , изучал правила мышления, «как мы рассуждаем». Дал систематическое изложение логики, анализировал человеческое мышление. Отделил логические формы мышления от его содержания.

Основоположник формальной логики как систематизированной науки о мышлении и его законах.

История развития логики

2-ой этап

Немецкий учёный Гольфрид Вильгельм Лейбниц в XVII веке высказал идею о замене рассуждений действиями со знаками и привёл соответствующие правила.

История развития логики

3-ий этап - развил эту идею Джордж Буль (XIX век). Он изобрёл своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применяемую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Его именем она и называется – алгебра Буля или Булева алгебра – начальный раздел математической логики.

Выдвинул математическую логику, как науку. В логике появился алфавит и правила записи. Основное назначение этой системы состояло в том, чтобы закодировать логические высказывания, свести логические умозаключения к виду формулы.

Операции, которые он ввёл, пригодились для работы с двоичным кодом. Математическая логика – инструмент при построении микросхем компьютера.

Формы мышления

понятие

высказывание

умозаключение

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

8

Понятие

- это форма мышления, выделяющая основные, существенные признаки объекта, позволяющие отличать их от остальных.

Пример:

Квадрат, стол, компьютер.

Понятие имеет 2 стороны –

• содержание (совокупность существенных признаков объекта)
• и объём (совокупность предметов, на которую распространяется понятия).

8

Высказывание

Основным объектом логики является высказывание.

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать – истинно оно или ложно.

Например:

На улице идёт дождь.

Скоро каникулы.

Но не всякое предложение является логическим высказыванием.

• Включи свет! Как дела? Ученик 9 класса. Информатика – интересный предмет.
• Включи свет!
• Как дела?
• Ученик 9 класса.
• Информатика – интересный предмет.

С точки зрения логики «Сейчас ночь» и «Парта красная» равны, т.к.=0.

Высказывание - это форма мышления, в которой что – либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может либо истинно, либо ложно.

не являются высказываниями.

8

Высказываниями не являются

Повелительные, восклицательные или вопросительные предложения:

А ты записался добровольцем?

Предложения в которых ничего не утверждается

Ученик 10 класса.

Предложения, в которых используются неопределённые понятия:

У него голубые глаза.

Определите истинность высказываний

• Буква А – гласная.
• Компьютер был изобретён в середине XIX века.
• 2*2=5.
• У квадрата одна сторона больше другой в 2 раза.

• Солнце есть спутник земли
• Сегодня отличная погода
• В романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов
• Санкт-Петербург расположен на Неве
• Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек
• Железо — металл
• Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным;
• Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный.

Какие из предложений являются высказываниями?

• Какова высота класса?
• Ответьте на вопрос.
• 2+3 = 5
• Делайте утреннюю зарядку!
• Клавиатура – устройство ввода информации.
• Чему равно расстояние от Москвы до Белгорода?
• Кто отсутствует?

Какие из данных предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

• Число 6 – четное.
• Посмотрите на доску.
• Все роботы являются машинами.
• У каждой лошади есть хвост.
• Внимание!
• Кто отсутствует?
• Есть кошки, которые дружат с собаками.
• Некоторые люди являются художниками.
• Выразите 1 час 15 минут в минуты.

8

Содержание высказывания в логике не рассматривается, важно только – истинно оно или ложно.

Обозначаются высказывания латинскими буквами А, В, С…

Высказывание принимают за логическую переменную, и если его значение

истина, то А=1 ,

если ложно, то А=0 .

Например

высказывание В: 2*2=4 – истина , значит В= 1 .

высказывание С: 2*4=6 – ложь , значит С= 0 .

8

Умозаключение

- это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (заключение, знание, вывод).

Правильно ли умозаключение?

Если нет, то почему?

Барабан – это музыкальный инструмент.

У Вовы дома музыкальный инструмент.

Значит, у него дома барабан.

Правильно ли умозаключение?

Если нет, то почему?

Классные комнаты надо проветривать.

Квартира – это не классная комната.

Значит квартиру не надо проветривать .

Основные операции над высказываниями 1. Логическое отрицание (инверсия)

Инверсия А истина тогда и только тогда, когда А – ложно, и наоборот.

Символьное обозначение

Таблица истинности

Х

0

1

1

0

Читается: «не Х»

2. Логическая дизъюнкция (сложение )

Символьное обозначение:

Читается: «или»

Таблица истинности:

Дизъюнкция высказываний - истина тогда и только тогда, когда хотя бы одно из входящих высказываний – истина.

А

0

В

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Пример

«4*4=16» или «2*2=3» - истина.

(А или В = 1

1 или 0 = 1)

«На улице темно» или «Сейчас перемена» - ложь.

(0 или 0 = 0)

3. Логическая конъюнкция (умножение)

Символьное обозначение

Читается «и»

Таблица истинности

А

0

В

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

Конъюнкция высказываний истина тогда и только тогда, когда значения всех входящих высказываний – истина.

В естественном языке звучит как И.

В алгебре логики обозначается как &.

В языках программирования обозначается AND.

Составные высказывания

В алгебре высказываний над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Высказывание, содержащее в себе другие высказывания, называются составным.

Например:

• Можно вечером пойти на дискотеку и выучить уроки. Можно вечером пойти на дискотеку или выучить уроки. Если можно вечером пойти на дискотеку, то и выучить уроки. Можно вечером пойти на дискотеку тогда и только тогда, когда выучишь уроки. Нельзя вечером пойти на дискотеку и выучить уроки.
• Можно вечером пойти на дискотеку и выучить уроки.
• Можно вечером пойти на дискотеку или выучить уроки.
• Если можно вечером пойти на дискотеку, то и выучить уроки.
• Можно вечером пойти на дискотеку тогда и только тогда, когда выучишь уроки.
• Нельзя вечером пойти на дискотеку и выучить уроки.

Обозначим:

А - «можно вечером пойти на дискотеку»

В - «выучить уроки»

Тогда высказывания запишутся:

• А и В А или В если А, то В а тогда и только тогда, когда В не А и В
• А и В
• А или В
• если А, то В
• а тогда и только тогда, когда В
• не А и В

Приоритет операций (порядок выполнения )

• Инверсия (отрицание)
• Конъюнкция (умножение)
• Дизъюнкция (сложение).

Порядок операций можно изменять с помощью скобок.

Логические операции имеют следующий приоритет выполнения:

• действия в скобках
• инверсия
• конъюнкция
• дизъюнкция
• импликация и эквивалентность.

В 1 1 1 1 0 1 1 0 1 А 0 В 0 АВ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 В естественном языке звучит как ЕСЛИ, ТО. В алгебре логики обозначается как . В естественном языке звучит как: ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, В ТОМ И ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ. В алгебре логики обозначается как . " width="640"

Дополнительные операции

Импликация (следствие)- если А, то и В.

Эквивалентность (равносильность) – А тогда и только тогда, когда В.

А

В

0

0

0

А=В

1

1

1

1

0

1

1

0

1

А

0

В

0

АВ

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

• В естественном языке звучит как ЕСЛИ, ТО.
• В алгебре логики обозначается как .

• В естественном языке звучит как: ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, В ТОМ И ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ.
• В алгебре логики обозначается как .

Выберите правильное обозначение

« Если вы знаете основы логики, то умеете читать логические схемы и строить таблицы истинности»?

• (A  B) \/ (A  C)
• A  B \/ C
• (A  B) /\ A  C
• A  ( B /\ С).

C) . " width="640"

Записать в виде логического выражения высказывание

«Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдёт на рыбалку»

Это высказывание состоит из частей:

А - Петя поедет в деревню,

В - будет хорошая погода,

С - он пойдёт на рыбалку.

F = A ^ (B = C) .

Основные операции над высказываниями

Заполните таблицу

Основные операции

Инверсия

Название

Дизъюнкция

Обозначение

Конъюнкция

Дополнительные операции

Союз в естественном языке

Импликация

Таблица истинности

Эквивалентность

Название – отрицание, лог. сложение, следование, равенство

Задание

Есть 2 высказывания:

А – «число 2 – чётное»,

В – «волк – травоядное животное».

Составьте все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Запишите в виде логических выражений

• Неверно, что корова – хищное животное.
• На уроке физики мы выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований преподавателю.
• При замерзании воды выделяется тепло.
• Компьютер выполняет вычисления, если он включён.

Вопросы

1. С какой логической операцией можно сравнить процесс открывания замка, который открывается двумя ключами одновременно?

2.…любым ключом?

лог.умн.

слож.

Законы логики

Выражения называются равносильными , если при одинаковых наборах переменных принимают одинаковые значения.

Логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных, называются тождественно-истинными .

Логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных, называются тождественно-ложными .

1. Переместительный закон

2. Сочетательный закон

3. Распределительный закон

Тождество де Моргана

Законы поглощения

Задача

Чему равен результат логического умножения А /\ В /\ С,

если:

А: «N – натуральное»,

В: «N делится на 5»,

С: «N

Задание

У братьев Ромы и Саши было 3 машинки:

1 красная и 2 синих.

Увидев у Саши одну из этих машинок Рома понял,

что он может поиграться только синей машинкой.

Какая машинка была у Саши?

красной

Задача

Мальчик собирался одеваться, когда погас свет в комнате, где в ящике шкафа лежали его коричневые и синие носки. Какое наименьшее число носков он должен взять из ящика, чтобы обеспечить себя парой одного цвета?

3 носка

Соедините :

А →В

А или В

Наука о формах и способах мышления

Не А

А ↔В

А и В

Повествовательное предложение, в котором что – либо утверждается или отрицается

Логика

Высказывание

Дизъюнкция

Инверсия

Конъюнкция

Импликация

Эквивалентность

Алгоритм построения таблицы истинности логической формулы

• подсчитать количество переменных в формуле.
• определить число строк в таблице 2n, где n – число переменных.
• подсчитать количество логических операций в формуле.
• установить последовательность выполнения операций с учетом скобок и приоритетов.
• определить количество столбцов в таблице: число переменных + число операций.
• выписать наборы значений переменных в виде нулей и единиц.
• провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с их очередностью.

A

1

B

1

C

1

1

B /\ C

1

1

A \/ B /\ C

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

Обратите внимание в каких случаях данное сложное высказывание истинно

Задание

У сестры Юли и Тони было 3 платка:

1 красный и 2 синих.

Увидев на Юле один из этих платков Тоня поняла,

что она может надеть только синий платок.

Какой платок был на Юле?

Платок красный.

Графическое обозначение:

1

&

45