Производная и ее применение
Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Вовлеки меня, и я научусь.
Содержание диктанта
1 вариант
2 вариант
y = sin x
y' (0) - ?
у = tgx y'(0)-?
y=2 +4
y= (x-3) 5
y' (1) - ?
y= -
y=
y' (4) - ?
y=
y'(1)-?
y=ln(3x-9) y'(4)-?
y=
y' (3) - ?
y'(3)-?
y= y'(3)-?
y' (0) - ?
Задача №1.
Найти промежутки возрастания и убывания функции у = lnх +
Задача №2.
Найти наибольшее значение функции
у = 19 – 2 cos х - на отрезке [- ]
Задача №3.
Составить уравнение касательной к графику функции f (х) = ln (2е - х) в точке х 0 = е
Задача №4.
Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону
S = 0,5 t 2 +3 t + 2 , где t – время движения. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15м/с?
Карточка 1
1. Расшифруйте, как И. Ньютон называл производную функцию.
С
Я
Ю
Ф
К
И
Л
1
3
-3/2
-4
-1
-3
-5
Карточка 2
1. Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввел термин .
Р
Н
Г
А
Ж
А
Л
-1
-5
1
12
2
1/6
Карточка 3
1. Решив эти примеры, вы узнаете, как И. Ньютон называл функцию
А
Л
Н
Е
Т
Ф
Ю
3
5
-3
2
1/6
-5
1
Карточка 4
1. Решив эти примеры, вы узнаете фамилию ученого, который вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной
Й
Е
Э
Р
Л
e/3
1872
-2
32/3
57,5
Производная и ее применение
Производной функции f(х) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции Δf = f(х 0 + Δх) – f(х 0 ) к приращению аргумента Δх при Δх →0, если этот предел существует: f' (х 0 ) =
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (х, f (x))
Уравнение касательной к графику функции y = f (х) в точке х 0 :
у = f (х 0 ) + f ' (х 0 )(х-х 0 )
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции
Этапы
Пример: для функции у= найти уравнение касательной в точке х 0 = 1
1. Найти значение функции в точке х 0
f(x 0 ) = f (1) = 1
- Найти производную функции
f ' (х)
f ' (x) = ( )' =
3. Найти значение производной в точке х 0 = 1
f ' (x 0 ) = f (1) =
4. Составить уравнение касательной к графику функции
У = 1 + (х-1) = х +
Вторая производная
Второй производной функции у = f (х) называется производная от производной f' (х) (обозначается f '' (х)).
Физический смысл производной
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону х (t), то мгновенная скорость точки
v(t)= = x' (t),
а ускорение :
a (t)=
0, то функция f (х) монотонно возрастает на этом интервале. Достаточное условие убывания функции: если в каждой точке интервала (а,b) f ' (x) Необходимое и достаточное условие постоянства функции: функция f (x) постоянна на интервале (а; b) тогда и только тогда, когда f ' (x) = 0 в каждой точке этого интервала. " width="640"
Исследование функции монотонность
Достаточное условие возрастания функции : если в каждой точке интервала (а,b) f ' (x) 0, то функция f (х) монотонно возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции: если в каждой точке интервала (а,b) f ' (x)
Необходимое и достаточное условие постоянства функции: функция f (x) постоянна на интервале (а; b) тогда и только тогда, когда f ' (x) = 0 в каждой точке этого интервала.
0 при х f ' (х) х 0 , Если f '(х)то х 0 – точка максимума. f ' (х) 0 при х х 0 , то х 0 – точка минимума . " width="640"
Экстремумы Необходимое условие экстремума
Если х 0 – точка экстремума функции у = f (x), то эта точка является критической точкой данной функции, то есть в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие экстремума
Если функция у = f(х) непрерывна в точке х 0 и производная f ' (x) меняет знак в этой точке, то х 0 - точка экстремума функции у = f(х).
Если f ' (х) 0 при х
f ' (х) х 0 ,
Если f '(х)
то х 0 – точка максимума.
f ' (х) 0 при х х 0 ,
то х 0 – точка минимума .
Алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов
Этапы
Пример для функции у = 2х 3 – 3х 2 – 36х +5
1.Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна
2.Найти производную f (х)
Область определения: R
Функция непрерывна на всей области определения
f ' (х) = 6х 2 – 6х – 36
3.Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю или не существует
f ' (х) = 0 при х = -2, х = 3
4.В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции
5.Относительно каждой критической точки определить , является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума
знак f
_+______-__________+______
Х = -2 точка максимума
6.Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.
-2 3
Х = 3 точка минимума
f(х) возрастает при х є (-∞;- 2) и при х є (3;∞); f(х) убывает при х є (-2; 3);
х max = -2, у max = f (-2) = 49; х min =3, у min = f(3) = -76
Наибольшее и наименьшее значения функции
Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
Этапы
Пример: для функции
1.Найти производную f ' (х)
у = 2х 3 – 3х 2 – 36х +5 на отрезке [0;4]
f ' (х) = 6х 2 – 6х – 36
2.Найти на данном отрезке критические точки, т.е точки, в которых f ' (х) = 0 или не существует
3.Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку и на концах отрезка.
f ' (х) = 0 при х = -2, х = 3
отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = 3
f (0) = 5
4.Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее
f(3) = -76
max f (x) = f (0) = 5
f (4) = -59
min f (x) = f(3) = -76
Применение производной к исследованию функции
Схема исследования функции
При исследовании свойств функции полезно найти:
- область ее определения;
- производную;
- критические точки;
- промежутки возрастания и убывания;
- точки экстремума и значения функции в этих точках.
Этапы
1.Найти область определения функции f (х)
Пример: для функции у = 3х-х 3
D (f) = R
2. Найти производную функции
f ' (x) = 3 – 3x 2
3.Найти критические точки функции. Для этого: а)определить в каких точках производная не существует, б) решить уравнение f ' (х) = 0
4.На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции
а) f ' (x) –существует во всех точках числовой прямой
Начертите координатную прямую и отметьте на ней критические точки. Определите знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения производной
б) х = 1 и х = -1 критические точки
5.Найти точки экстремума функции
Найти экстремумы функции
Х = -1 – точка минимума
6.Начертить график функции
Х = 1 –точка максимума
Для уточнения формы графика найти значение функции в нескольких дополнительных точках
f (-1) = -2 – минимум ,
f (1) = 2 – максимум
Спасибо за внимание !